Os estudos de lógicas Paraconsistentes tem sido alvo de grandes estudos da Inteligência Artificial , como por exemplo, no tratamento de bases de dados que contenham inconsistências, fundamentando procedimentos alternativos aos tradicionais no trato deste tipo de problema. Hoje, como é bem sabido, a lógica possui um conteúdo que é tanto técnico quanto matemático. A lógica matemática constituem as ciências formais, normalmente consideradas distintas das ciências empíricas e da filosofia. Suponhamos que a linguagem subjacente a uma teoria dedutiva F contém um símbolo para a negação. Então, F é dita ser inconsistente se e somente se possui dois teoremas, um dos quais é a negação do outro; caso contrário, F é dita consistente. A teoria dita trivial se e somente se todas as fórmulas (ou todas as sentenças) da linguagem de F são teoremas de F; caso contrário, F chama-se não-trivial. Falando por alto, um sistema de lógica é paraconsistente se pode ser empregado como lógica subjacente a teorias inconsistentes porém não triviais. Existem vários sistemas de lógica paraconsistente desenvolvidos até o nível do cálculo de predicados de primeira ordem. Sobre estes sistemas, já se estabeleceram lógicas de ordem superior inconsistentes e não-triviais e teorias de conjuntos. Em particular, as teorias de conjuntos paraconsistentes mostraram-se fortes o suficiente para dar origem a muitas questões e resultados matemática e filosoficamente interessantes. É também digno de menção que semânticas apropriadas foram delineadas para se dar conta de vários sistemas paraconsistentes, e que a generalização da definição de verdade de Tarski e o nascimento da teoria de modelos paraconsistentes forma subprodutos destas investigações semânticas.

2. Histórico da Lógica Paraconsistente

Segundo LUKASIEIVICZ (1910 E 1971), Aristóteles já tinha idéia da possibilidade de derrogação da lei da contradição. Lukasiewicz, por seu lado, argumenta que essa lei pode ser derrogada porque não é diretamente evidente, não é uma lei determinada pela organização psicológica do homem e, também, não pode ser demonstrada com base na definição de negação. A seguir, N. a VASILIEV, entre 1910 e 1913, publicou uma série de artigos, nos quais mostra a lei da contradição na forma "um objeto não pode ter um predicado que o contradiga" pode ser derrogado, esboçando uma lógica não-aristotélica e, em particular, uma teoria de silogismo onde podem aparecer premissas da forma "A é B e não B". Apesar de Vasiliev não ter explicado todas as leis da lógica, o seu trabalho é particularmente interessante pelo fato de já delinear uma lógica paraconsistente. Em 1948 e 1949, JASKOWSKI propôs um sistema lógico baseado no sistema modal S5 , Lewis ao qual denominou Lógica Discursiva. Porém, Jaskowski não axiomatizou seu sistema; isto só foi feito posteriormente por DA COSTA 7 DUBIKAJTIS (1968 e 1977) e por KOTAS & DA COSTA (1979). Apesar de Jaskowski já ter proposto, de forma mais ou menos explícita, um cálculo proposicional paraconsistente, consideramo-lo ainda como um precursor da lógica paraconsistente. Isto pelo fato de não Ter ido ele além de um cálculo proposicional e por, aparentemente, não Ter percebido o significado da lógica paraconsistente em toda sua amplitude. O aparecimento da lógica paraconsistente somente ocorreu em 1963, com um trabalho do lógico brasileiro Newton Carneiro Affonso da Costa. Da Costa já havia exposto suas idéias sobre o conceito da contradição anteriormente, mas só em Da Costa (1963) é que ele formulou, não um sistema, mas uma hierarquia enumerável de lógicas paraconsistentes de primeira ordem, dos respectivos cálculos de descrições e um esboço de teorias paraconsistentes de conjuntos construídos sobre sua lógica. O termo lógica paraconsistente só foi cunhado em 1976 por F. Miró Quesada, numa conferência pronunciada durante o III Simpósio Latino-Americano de Lógica Matemática, realizado na Universidade Estadual de Campinas. Até essa época usou-se o termo "lógica para sistemas formais inconsistentes", introduzido por da Costa em 1963. A partir de 1963, as pesquisas em lógica paraconsistentes desenvolveram-se muito rapidamente, em parte como consequência dos trabalhos de da Costa e sua escola e, em parte, independentemente. Hoje, a lógica paraconsistente é um ramo bastante estudado no Brasil, na Austrália, na Polônia e nos Estados Unidos. O lógico brasileiro Newton, iniciou estudos no sentido de desenvolver sistemas lógicos que pudessem envolver contradições, motivado por questões de natureza tanto filosófica quanto matemáticas. Ele é conhecido internacionalmente como o real criador das lógicas paraconsistentes. A lógica paraconsistente ou "não clássica" diverge da lógica clássica no sentido de que possam alicerçar sistemas teóricos que admitam contradições, expressões do tipo "A e não A" sem que no entanto se tronem triviais, ou seja, sem que todas as expressões bem formadas de sua linguagem possam ser provadas como teoremas do sistema.

3. Noções da Lógica Paraconsistente

Foi iniciada para desafiar o princípio da contradição.. As lógicas clássica, Intuicionista, e outras lógicas não tratam deste princípio. Lógica não clássica, pode ser usada como lógica subjacente de uma teoria inconsistente e não trivial., nela "Uma contradição não invalida (ou não trivializa) o seu sistema" Vasileiv. "As lógicas paraconsistentes romperam o paradigma caracterizado pela lógica de tradição aristotélica, possibilitando que se possa aceitar a existência de teorias inconsistentes e a coexistência de sistemas lógicos incompatíveis entre si".

4. Classificação da Lógica Paraconsistente

Fraca, é quando pode servir de base tanto p/teorias paraconsitentes quanto para teorias consistentes. FORTE, geralmente, já existe uma fórmula tal que ela e sua negação são teoremas nessa lógica.

5. Fundamento da Lógica Paraconsistente

Uma teoria dedutiva T, cuja linguagem contenha um símbolo de negação (~), é dita inconsistente se o conjunto se seus teoremas contém ao menos dois deles, um dos quais é a negação do outro. Neste caso sendo A e ~A tais teoremas, normalmente deriva-se em T uma contradição, isto é, uma expressão da forma A ^ ~A; caso isso aconteça, T é consistente. A teoria T é trivial se o conjunto de suas fórmulas coincide com o de seus teoremas, ou seja, dito informalmente se todos os enunciados sintaticamente corretos do ponto de vista da linguagem de T puderem ser provados em T. Caso aconteça o item (III) a teoria não permite que se distinga o "demonstrável" do "não demonstrável", uma vez que não poderá, por assim dizer, separar o verdadeiro do falso. Uma lógica paraconsistente se pode ser utilizada como lógica subjacente a teorias inconsistentes mas não triviais. Isso implica que o princípio da não contradição deve ser de alguma forma restringido, a fim de que possam parecer contradições, mas deve-se evitar que de duas premissas contraditórias se possa deduzir uma fórmula qualquer. Segundo Prof. Costa os Sistemas Formais Inconsistentes foram erigidos para satisfazer as seguintes condições: princípio da não-contradição na forma Ø (A ^ Ø A) não deve ser válido em geral, Não se deve ter A, Ø |- B, ou seja, de duas premissas contraditórias não deve ser possível, em geral, deduzir-se qualquer proposição Todos os esquemas de regras da lógica clássica que forem compatíveis com estas duas condições devem em princípio ser mantidas. A classe das proposições é decomposta em proposições de dois tipos: na classe das bem comportadas (obediência a lógica clássica, para as lógicas bem comportadas A, tem-se que Ø (A ^ Ø A ) é verdadeiro), toda fórmula válida do cálculo clássico também o será nos cálculos de Sistemas Formais Inconsistentes, com exceção de um deles; se A for mal comportada, pode-se ter A ^ Ø A . As lógicas paraconsistentes de certa forma estendem-se a lógica tradicional, permitindo certas investigações que não seriam possíveis à luz da lógica clássica, elas não visam eliminar a lógica tradicional, que permanece válida em seu particular domínio de aplicabilidade.

6. Teorias Inconsistentes mas não Triviais

A mais falada razão da lógica Paraconsistente é o fato de haver teorias, as quais, são inconsistentes mas não-triviais. Claramente, uma vez que admitimos a existência de tais teorias, suas lógicas paralelas precisam ser Paraconsistentes. Contradições Verdadeiras (Dialetheias): Quando algumas pessoas argumentam algo, há contradições verdadeiras., ou seja, há sentenças A , tais que A e ~A são verdadeiras. Somente conclusões verdadeiras são obtidas de premissas verdadeiras. Logo, a lógica tem que ser Paraconsistente. Um exemplo plausível é o paradoxo de Liar. Considere a sentença: Esta sentença não é verdadeira. Existem duas opções: A sentença é verdadeira ou não é verdadeira. Suponha que ela é verdadeira. Então lendo, obtemos o resultado que a sentença não é verdadeira. Suponha por outro lado, que ela não é verdadeira. Então lendo e aplicando a negação, obtemos o resultado que a sentença é verdadeira. Raciocínio Automatizado: A lógica Paraconsistente não é motivada somente por considerações filosóficas, mas também por suas aplicações e implicações. Uma das aplicações é a Automatização do Raciocínio (processamento de informações). Considere um computador que armazena uma grande quantidade de informações. Enquanto o computador armazena a informação, ele também é utilizado para operar e para inferir sobre ela. É muito comum os computadores conterem informações inconsistentes, por causa de erros humanos durante a digitação de dados, ou pela obtenção de dados de múltiplas fontes. Técnicas para remover informações inconsistentes tem sido investigadas, mas suas aplicações ainda são limitadas e em vários casos não garantem a produção de consistência. Revisão da Crença: Como uma parte da pesquisa de inteligência artificial, a Revisão da Crença é uma das áreas que tem sido estudada amplamente. A Revisão da Crença é o estudo que trata da revisão racional de crenças partindo de novas evidências. Notavelmente, pessoas tem crenças inconsistentes. Elas, muitas vezes podem ser racionais fazendo isto. Por exemplo, pode ser aparentemente aceitável evidências de alguma coisa e sua negação. Podem haver casos onde é em princípio impossível de eliminar tal inconsistência. Como exemplo, considere uma pessoa racional, que após terminar uma pesquisa, escreve um livro. Mas esta pessoa também está ciente que nenhum livro, de qualquer complexidade contém somente verdades. Significado Matemático Outra aplicação da lógica Paraconsistente é na teoria dos significados matemáticos. Exemplos de tais teorias, são as semânticas formais e teoria dos conjuntos. Através da semântica é estudado o significado das sentenças. Grande parte dos estudiosos de semântica insistem que mostrar o significado de uma sentença, é de algum modo, mostrar sua tabela verdade. A aproximação dos problemas de inconsistência são, em geral, umas das conveniências. Porém, a Paraconsistência faz com que seja possível termos teorias de "verdades absolutas" na qual as intuições fundamentais sobre estas noções são respeitadas e as contradições podem ser tratadas de maneira isolada, sem afetar o resto da teoria. O Significado Filosófico: À importância filosófica da lógica paraconsistente significa uma exposição das conseqüências (ou efeitos) mais significativos do impacto deste tipo de lógica sobre o campo filosófico. Em relação aos efeitos positivos temos: Melhor elucidação de alguns conceitos básicos da lógica, como por exemplo os da negação, de contradição e do papel do esquema da abstração na teoria dos conjuntos. Compreensão mais profunda de certas teorias, especialmente a dialética e a teoria dos conjuntos de Meinong. Prova da possibilidade de teorias fortemente inconsistentes mais não triviais, como corolário, os paradoxos comuns estão agora sendo vistos sob perspectivas novas, Elaboração de esquemas ontológicos distintos dos da ontologia tradicional. Dentro os efeitos negativos temos: Prova de que algumas críticas formuladas contra a dialética são pouco sólidas; Prova de que os requisitos metodológicos padrão impostos às teorias científicas são muitos rigorosos e poderiam ser liberalizados. Evidência de que a concepção usual da verdade, a La Tarski, não implica que as leis da lógica clássica (mesmo do cálculo de predicados de primeira ordem) devam ser válidas sem alguma suposição extra. Uma das principais críticas dirigidas por Popper contra a dialética é que ela admite a existência de contradições verdadeiras em seu sistema, então esse fato deveria acarretar a trivialização de suas teorias, uma vez que, no lógica clássica, da existência de duas proposições contraditórias pode-se deduzir qualquer proposição. Costumeiramente, as teorias científicas estão sujeitas a certas restrições metodológicas. Por exemplo, sua lógica subjacente deveria ser a lógica clássica e elas deveriam ser consistentes. Porém, uma vez que hoje temos vários tipos de lógica e em particular a lógica paraconsistente, que está bem desenvolvida, poderíamos tentar adotar uma posição mais liberal com relação à metodologia da ciência. Podemos construir uma semântica paraconsistente, seguindo a linha mestra do conceito de Tarski, mas de tal modo de tal modo que algumas das leis clássicas não sejam válidas. Existe uma semântica paraconsistente e também várias formas de verdade paraconsistente; logo, os métodos semânticos não determinam de modo único a noção de verdade (a propósito, em alguns sistemas paraconsistentes encontram-se dois tipos de proposições: aquelas que satisfazem as normas da lógica clássica e aquelas que não satisfazem. As primeiras são as proposições bem comportadas, com as quais se está acostumado e pode-se racionar com elas como se faz usualmente. As últimas são denominadas proposições mal comportadas, as quais não se submetem às leis clássicas, como a lei da contradição. A semântica das proposições bem comportadas coincide com semântica padrão de Tarski.) O Significado Filosófico sobre o Teorema de Gödel: A lógica Paraconsistente também tem uma importante ramificação filosófica. Um exemplo disto é o teorema de Gödel. Uma versão do primeiro teorema da incompletude afirma que para qualquer teoria matemática axiomática, a qual pode ser reconhecida como "verdade", haverá uma verdade matemática, não provável por si só, mas que será estabelecida como verdade pela intuição que temos do que é a razão correta. O coração do teorema de Gödel , de fato, é um paradoxo que se preocupa com a sentença. Seja G, a sentença Esta sentença não é provável. Se G é provável, então ela é verdadeira a como resultado a sentença não é provável, e vice-versa. Isto chega a uma lógica Paraconsistente, devido a contradição apresentada pela própria sentença.

7. Porque Estudar Lógicas Paraconsistentes ?

Todos esses temas motivaram a elaboração da lógica paraconsistente. Conseqüências positivas da lógica paraconsistentes: Negação clássica é um conectivo unário que satisfaz certos princípios sintáticos e semânticos, tais como as leis sintáticas da contradição, do terceiro excluído e da dupla negação, tanto quanto as correspondentes leis semânticas. A negação clássica depende da estrutura global da lógica clássica. A lógica paraconsistente tem contribuído para uma melhor compreensão de algumas teorias filosóficas entre as quais mencionamos a dialética e a teoria dos objetos de Meinong. Um obstáculo que usualmente dificultam o desenvolvimento da dialética e da teoria de Meinong é que estas teorias, ao menos em algumas de suas de suas formulações, requerem um tratamento liberal das contradições, o que a lógica clássica não pode proporcionar. Nesse ponto a lógica paraconsistente pode funcionar como uma base firma para a reconstrução lógica de tais teorias filosóficas. A lógica paraconsistente torna manifesto que podemos construir muitas teorias inconsistentes mas não triviais. Exemplo: é possível desenvolver cálculos de predicados paraconsistentes de ordem superior, contendo cálculo de predicados clássico como um subsistema, nos quais teoremas tais como $ P (P(P) ^ ~P(P)), ou seja, existem um predicado P tal que P é predicável de si próprio e P não é predicável de si próprio. Com efeito, usando alguns tipos especiais de lógica paraconsistente de ordem superior, novos sistemas semânticos podem ser construídos, nos quais digamos, certas formas de antinomia do mentiroso são deriváveis, apesar de que tais derivações não implicam, ao menos diretamente, na trivialidade do sistema. O conectivo que realmente causa problema não é a negação, mas a implicação: a trivialidade surge independentemente de qualquer contradição.