Desmistificação da Tabela Price

 

 

            Observe a tabela abaixo.  Ela apresenta uma forma de demonstração de um plano de amortização realizado através do Sistema Francês de Amortização (SFA), também denominado “Tabela Price”.

     Os dados básicos do plano são:

1. Capital Inicial (ou valor inicial de empréstimo) de R$ 10.000,00.

2. Taxa de Juros de 5% a.m. (ao mês).

3. Número de Parcelas (períodos) igual a 12.

4. Prestações mensais de R$ 1.128,25.

Eis a tabela:

    TABELA  I

DEMONSTRAÇÃO CONVENCIONAL DA TABELA PRICE - 1º caso

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Segundo esta tabela, argumentam alguns,  o SFA não incorre na cobrança de juros sobre juros, o quê, no meio jurídico, é denominado anatocismo. Dizem, e é o que se vê na tabela, que sobre um débito existente (R$ 10.000,00), ao final do primeiro período, calcula-se os juros relativo ao período (R$ 500,00), deduz-se estes juros da prestação que está sendo paga  (R$ 1.128,25) e aplica-se o saldo da prestação (R$ 628,25), depois de ter sido servido o serviço da dívida, ou seja, os juros, na amortização do débito principal.

     Assim, como se observa na tabela, resulta que o saldo devedor, aquele  que vai para o período seguinte, é o líquido da amortização realizada (R$9.371,75)., sobre o qual são calculados os juros do próximo período. Na data de vencimento deste novo período, cálculo similar ao do primeiro período é feito: deduz-se da segunda prestação (R$ 1.128,25) os juros calculados sobre o saldo devedor (R$ 468,59), verifica-se o saldo da prestação (R$ 659,67)  e aplica-se este saldo na amortização do principal que veio para o período (R$ 9.371,75) gerando-se um novo valor a ser amortizado no período seguinte (R$ 8.712,08).

     Nos períodos seguintes a mesma sistemática é empregada até que, por fim,  no último período, o saldo do principal é zero.

     Esta demonstração leva a “intuir-se ” que não há cobrança de juros sobre juros; vê-se, claramente, que em cada período os juros são calculados apenas sobre o saldo devedor do principal e, assim, aparenta justeza incontestável.

     Antes de se entrar no mérito quanto ao fato de ser ou não justa a sistemática utilizada, observe-se esta outra demonstração, de igual natureza, porém relativa a um empréstimo de R$ 100.000,00, com uma taxa de juros inferior (2% ao mês), porém estruturada para pagamento em 10 anos, ou seja, 120 meses. Este tipo de empréstimo é muito comum na compra de casa e outros bens a longos prazos. Para efeito da análise transcrevem-se apenas as primeiras parcelas e os totais que serão obtidos após os 120 meses.

 

TABELA II

DEMONSTRAÇÃO CONVENCIONAL DA TABELA PRICE – 2º Caso

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Continuando a se valer da “intuição”, em que pese o sistema continuar o mesmo, pode-se “sentir” que alguma coisa está errada. Se se imaginar que um capital tomado sem amortização, à taxa de 2% ao mês, pago mensalmente durante 120 meses, representaria 240% de juros, ou seja, R$ 240.000,00, como é possível que um capital que foi amortizado ao longo dos 120 meses apresente, ainda, juros da ordem de 164,5%? Ou seja, R$ 164.577,20! Ou, ainda, em outras palavras, 68,5% (164.577,20 + 240.000,00 % 100) do que pagaria aquele que nada amortizou do Capital?

            A lógica INTUITIVA nos diz que  um capital de R$ 100.000,00 uniformemente amortizado ao longo de 120 meses tende a ter seu capital médio reduzido à  metade  (R$ 50.000,00) ou, então, a manter-se o capital total, o número de meses a ser contados “cheios” reduzido para a metade. Em ambos os casos, 240% de R$ 50.000,00 ou R$ 100.000,00 em 60 meses a 2% a.m., obtêm-se juros de R$ 120.000,00 e não de R$ 164.577,20 como se tem na demonstração.

     O que se sucede então?

            Ocorre que ambas as tabelas foram idealizadas com base em um sistema de cálculo exponencial, que faz incidir juros sobre os juros a cada período de capitalização. Este sistema não é tão simples como parece, a ponto de  Albert Einstein tê-lo, talvez revoltado com as prestações de sua própria casa, chamado de “a maior invenção de todos os tempos”.

     Mas não basta, para o estudo em questão, que se afirme que o sistema contempla um método de juros compostos e que Einstein tenha se maravilhado (ou se revoltado) com ele. Fato, até aqui, é que fora a intuição que se tem de que “algo está errado”, é que ambas as tabelas demonstram um sistema onde os juros incidem apenas sobre o principal. Mas de que forma ?

     Observe-se a Tabela III a seguir, a qual contempla o mesmo caso exposto na Tabela I, mesmo capital, mesmo período de amortização, mesma taxa de juros e até os mesmos valores de prestação:

TABELA  III

TABELA PRICE: DEMONSTRAÇÃO NÃO CONVENCIONAL – 1º Caso        

           

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            Os totais, relativos aos juros e valor amortizado, também são iguais aos demonstrados na Tabela I, entretanto esta tabela demonstra algo de diferente: ela demonstra que cada prestação foi assumida como um montante individual (montante = capital mais Juros) de uma pequena parcela de empréstimo, do qual deduzidos os juros calculados de forma composta, o capital é aplicado na amortização de um todo.

            Explicando melhor: observe que o valor amortizado, em cada parcela, é resultante do valor da prestação dividido por uma taxa de juros calculada de forma composta. No primeiro período a taxa é de 5%, divide-se, então,  a prestação (R$ 1.128,25) por 1.05 e encontra-se o valor amortizado na primeira prestação (R$ 1.074,52). Já no segundo período, sabendo-se que dois períodos foram decorridos, para se encontrar a taxa faz-se: 1.05 % 1.05 = 1.1025 e, para se encontrar o valor amortizado, faz-se: R$ 1.128,25 + 1.1025 = R$ 1.023,36, ou seja, os juros cobrados foram R$ 104,89 que é igual a R$ 1.023,36 % 0,1025. Indo além, numa terceira prestação têm-se que para encontrar-se o valor amortizado faz-se: R$ 1.128,25 + (1.05 % 1.05 % 1.05), ou seja, o valor da prestação dividido por 1.1576, que é igual a R$ 974,62. Isto é, emprestado um capital de R$ 974,62 em um tempo zero (T₀), quando ele é pago, três meses após, cobra-se 15,76% de juros (R$ 153,63), o que perfaz o valor da prestação, que é de R$ 1.128,25.

            De notar-se que no método adotado, para se encontrar a taxa de juros aplicável a uma certa prestação,  multiplica-se o fator inicial da taxa de juros (1.05) por ele mesmo tantas vezes quantas forem necessárias para atingir o número de períodos decorridos até a prestação. Assim, têm-se:  para a segunda prestação, 1.05 % 1.05; para a terceira, 1.05 % 1,05 % 1.05 e assim por diante. Por este motivo o método é denominado composto. E expressões da forma 1.05 % 1.05 e 1.05 % 1,05 % 1.05 representam potenciações, que podem ser escritas nas formas 1.05² e 1.05³, onde os expoentes vão designar, exatamente, o número de períodos decorridos. Se o método fosse linear, simples, para a segunda parcela far-se-ia 1+(0.05 % 2) = 1.10 e para a terceira 1+ (0.05 % 3 = 1.15.

            Por outro lado, é importante observar-se  que a Tabela I apresenta saldos, após a amortização de cada parcela, maiores do que os constantes na Tabela III, eis a comparação:

 

TABELA IV

COMPARAÇÃO DOS SALDOS

 TABELA I   Vs.   TABELA III

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            É que a demonstração da Tabela III abrange tão somente os cálculos de juros pertinentes a cada parcela, que como se viu foram efetuados de forma composta, logo os saldos nela demonstrados encontram-se isentos de juros sobre o capital remanescente. Já a Tabela I trabalha com saldos, calculando os juros sobre estes, apresentando cada saldo acrescido da respectiva parcela de juros, calculada de forma composta, até o período correspondente, a saber:

     Exemplo para a quinta parcela:

sabendo-se que os saldos da Tabela III encontram-se isentos de juros, toma-se o saldo para a quinta parcela, que é de R$ 5.115,25 e, definido  que o método empregado é o composto, busca-se determinar o Valor Futuro de um capital colocado à taxa de 5% ao período, por cinco períodos consecutivos. Sendo a fórmula básica de juros compostos:

Valor Futuro é igual ao Capital multiplicado pela taxa centesimal de juros mais uma unidade elevada a n, onde n é o número de períodos

 

                        VF  =  C (1+i)ⁿ

 

 

            Substituindo-se as variáveis: VF  =  5.115,25 (1+0.5)⁵

     Tem-se que

 

           VF = 5.115,25 % 1.05⁵    ‹   VF = R$ 6.528,50,

 

      ou seja, o valor do saldo demonstrado na Tabela I para a quinta parcela.

 

            É que a Tabela I, pela forma utilizada de calcular os juros sobre o saldo, deduzindo-os das parcelas antes da amortização, redunda na apresentação dos saldos remanescentes devidamente atualizados, à taxa composta, até o período a que se refere cada parcela — é uma possibilidade de demonstração matemática, mas não uma prova, como se pretende, de que não há a ocorrência de anatocismo...

     Assim, fica indubitavelmente provado que o Sistema Francês de Amortização — Tabela Price — contempla total incidência de juros sobre juros.

     Será?