Juan Etchebarne Juan Etchebarne Juan Etchebarne
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

INTRODUCCION

Las ecuaciones lineales son una generalización de las ecuaciones de rectas en el plano bidimensional y se utilizan para la resolución de innumerables problemas en las diferentes disciplinas del saber humano, tales como la Quimica, la Mecánica, la Economía, las Ciencias Sociales, la Física, la Biología, etc. En vista de las numerosas aplicaciones de estas ecuaciones, realizaremos un repaso del concepto de Ecuación Lineal.

Ecuación Lineal

Estamos acostumbrados a utilizar ecuaciónes del tipo:   4x + y = 16     y la visualizamos muy facilmente ya que es una ecuación lineal en las variables x e y, y su gráfica en el plano cartesiano XY es una recta que pasa por los puntos (0,16) y (4,0). El álgebra lineal trata de la generalización de las ecuaciones lineales a  n  variables.
Una ecuación de la forma:

a1x1+a2x2+a3x3+ ..... + anxn= b

donde los coeficientes  a1, a2, .... , an y el término "b" son constantes numéricas reales, es llamada ecuación lineal en las variables   x1, x2, ..... , xn.

Ejemplo:

5 x + 2 y = 12;     9 x - 2 y = 13;   y    x1 + x2 + . . . . . + xn = 0

Estas son tres ecuaciones lineales. Todas las variables de una ecuación lineal deben ser de primer grado, es decir, los exponentes de las variables deben ser la unidad, si por ejemplo alguna variable de la ecuacion estuviese elevado al cuadrado o a cualquier potencia , ya no sería una ecuación lineal.

Un Sistema de Ecuaciones Lineales en las variables x1 , x2, .... , xn

es un conjunto finito de ecuaciones lineales en dichas variables. Ejemplo:
3 x - 5 y + z = 14
   x + 3 y - z = 18

Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, o incógnitas, se escribe de la siguiente manera:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + . . . + a2n xn = b2
  .   .   .   .
  .   .   .   .                                 (1)
  .   .   .   .
am1 x1 + am2x2 + . . . + x1, x2, ..... , xn xn = bm


Donde x1, x2, ..... , xn son las incógnitas y los coeficientes a y b con subíndices, son constantes numéricas reales.
El primer subíndice, i, de los dos que tiene el coeficiente aij, coloca a aij en la i-ésima ecuación del sistema. El segundo subíndice, j, de los que tiene el coeficiente aij, coloca a éste como el coeficiente de la variable j-ésima, xj, del sistema. En particular, a21, se encuentra ubicado en la segunda ecuación y es el coeficiente de x1 en dicha ecuación.
Una sucesión c1, c2, . . . , cn de números reales es una solución de la ecuación lineal:
a1x1+a2x2+a3x3+ ..... + anxn= b

   Si:
a1c1+a2c2+a3x3+ ..... + ancn= b

La colección de todas las soluciones de una ecuación lineal se llama Conjunto Solución de la Ecuación.

Se dice que una sucesión finita de números reales es una solucion de un sistema de ecuaciones lineales, si es solución de cada una de las ecuaciones del sistema.
La sucesión:    x1 = 1;   x2 = 2,    x3 = 3    es una solucion del sistema:

3x1 + 2x2 + x3 = 10
5x - 3x2 + 2x3 =  5
ya que satisface a ambas ecuaciones. En cambio, la sucesion   :
x1 = 1;   x2 = 0,    x3 = 0,  satisface solamente a la segunda ecuación, por lo tanto no es solución del sistema.

Un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, tal como:
ax + by = c
dx + ey = f
puede tener o no una solución común.
  • Sistemas Compatibles.   Se llaman Compatibles o Consistentes cuando los sistemas de dod ecuaciones lineales con dos incógnitas, tienen por lo menos una solución.
  • Sistemas Incompatibles   Se llaman Incompatibles o Inconsistentes cuando los Sistemas de ecuaciones lineales no tienen solución.

OBSERVACIONES:

  • Cuando un sistema de dos ecuaciones lineales representan 2 rectas que se cruzan en un punto, este punto común representa la solución del sistema, luego se dice que este sistema es Consistente o Compatible
  • Cuando un sistema de dos ecuaciones representan 2 rectas paralelas, es decir, que no tienen ningún punto común de intersección, luego no tienen solución, por lo tanto se dice que el sistema es Incompatible o Inconsistente.
  • Cuando un sistema de dos ecuaciones representan dos rectas que coinciden en todos sus puntos, se dice en este caso que tiene infinitas soluciones, por lo tanto se trata de un sistema Consistente o Compatible
  • Cuando el sistema de 2 ecuaciones lineales tiene tres incógnitas, su representacion son planos que se cruzan en una recta, planos paralelos o planos coincidentes y se aplica el mismo concepto que para los sistemas con dos incógnitas.

Método de Eliminación de Gauss.-
Un enfoque algebraico para la eliminación de incógnitas es mediante la combinación de ecuaciones; esto se puede representar para un conjunto de dos ecuaciones:

a11x1 + a12x2 = b1 (1)
a21x1 + a22x2 = b2  
Como primer paso , se reemplaza la segunda ecuación con lo que resulte de sumarle la primera ecuación multiplicada por (-a22 / a11), esto nos dá como resultado un nuevo sistema de ecuaciones en la que se ha eliminado la variable x1 de la segunda ecuación de la siguiente forma:
a11x1 + a12x2 = b1 (2)
    a'22x2 = b'2  
donde a' y b' son los nuevos coeficiente y constante que se obtienen de las operaciones mencionadas y en donde la variable x1 se ha eliminado de la segunda ecuación, en este momento ya podemos despejar la variable   x2 de la segunda ecuación , luego esta se sustituye en la primera ecuación ( este proceso se llama Sustitución Regresiva ), y se despeja la variable   x1 . Este método también se emplea para tres o más variables
Los pasos a seguidos para realizar la reducción son:
  1. De ser necesario intercambiar dos ecuaciones cualesquiera del sistema
  2. Multiplicar cualquier ecuación del sistema por una constante no nula
  3. Reemplazar cualquier ecuación del sistema por el resultado de sumarle a ella un múltiplo de cualquier otra ecuación.

    Veamos ahora unos ejemplos en los cuales podremos apreciar las diferentes técnicas para resolver sistemas de ecuaciones lineales, llegamos allí pulsando el siguiente link:
    Ejercicios Resueltos y propuestos

    Algebra Lineal
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