Ejercicios Resueltos y Propuestos 2
1.- Resolver el sistema de ecuaci�nes lineales:
| 3x |
- |
5y |
+ |
11z |
+ |
2w |
= |
15 |
| 2x |
- |
4y |
+ |
6z |
+ |
2w |
= |
8 |
Solucion:
Por nuestras nociones de �lgebra, sabemos que para resolver un sistema de ecuaciones lineales, es necesario tener tantas ecuaciones como inc�gnitas, en este caso tenemos cuatro inc�gnitas y solo dos ecuaciones, por lo tanto tenemos que resolverla en funci�n de dos valores que asumiremos, para cualquiera de dos variables.
Observamos que podemos simplificar la segunda ecuaci�n dividi�ndola entre 2.
| 3x |
- |
5y |
+ |
11z |
+ |
2w |
= |
15 |
| x |
- |
2y |
+ |
3z |
+ |
w |
= |
4 |
A continuaci�n intercambiamos las ecuaciones de manera que la variable "x" de la primera ecuaci�n tenga coeficiente 1
| x |
- |
2y |
+ |
3z |
+ |
w |
= |
4 |
| 3x |
- |
5y |
+ |
11z |
+ |
2w |
= |
15 |
Eliminamos la variable "x" de la segunda ecuaci�n sum�ndole la primera ecuaci�n muiltiplicada por (-3), y nos queda:
| x |
- |
2y |
+ |
3z |
+ |
w |
= |
4 |
|
|
y |
+ |
2z |
+ |
w |
= |
3 |
Asumiendo que z = a, y w = b, despejamos la variable "y", obtenemos:
y = b - 2a + 3. Sustituimos luego este valor de "y" y los valores de z = a,
w = b, en la primera ecuaci�n para despejar el valor de la variable "x", obteniendo:
| x |
- |
2(b-2a+3) |
+ |
3a |
+ |
b |
= |
4 |
| x |
- |
2b |
+ |
4a |
- |
6 |
+ |
3a |
+ |
b |
= |
4 |
Por lo tanto el conjunto soluci�n de este sistema es:
| x = b - 7a + 10 |
y = b - 2a + 3 |
z = a |
w = b |
METODO DE ELIMINACION GAUSSIANA
2.- Resuelva por eliminaci�n Gaussiana el siguiente sistema:
| 4x1 |
- |
9x2 |
+ |
2x3 |
= |
5 |
|
| 2x1 |
- |
4x2 |
+ |
6x3 |
= |
3 |
(1) |
| x1 |
- |
x2 |
+ |
3x3 |
= |
4 |
|
Primero reordenamos el sistema intercambiando la primera ecuaci�n por la tercera, esto es para tener la variable x1 con coeficiente unitario en la primera ecuaci�n (esto puede omitirse, pero de hacerlo facilita la soluci�n)
| x1 |
- |
x2 |
+ |
3x3 |
= |
4 |
|
| 2x1 |
- |
4x2 |
+ |
6x3 |
= |
3 |
(2) |
| 4x1 |
- |
9x2 |
+ |
2x3 |
= |
5 |
|
A continuaci�n multiplicamos la primera ecuacion por la constante (-2 / 1) y la sumamos a la segunda ecuaci�n, a la vez tambi�n multiplicamos la primera ecuaci�n por la constante (-4 / 1) y la sumamos a la tercera ecuaci�n, al realizar estas operaciones nos queda:
| x1 |
- |
x2 |
+ |
3x3 |
= |
4 |
|
| 0 |
- |
2x2 |
+ |
0 |
= |
-5 |
(3) |
| 0 |
- |
5x2 |
- |
10x3 |
= |
-11 |
|
Observando el sistema que nos queda vemos que la variable x2 la podemos despejar directamente de la segunda ecuaci�n:
Este valor hallado lo sustituimos en la tercera ecuaci�n y despejamos la variable x3 y hallamos:Estos valores hallados los sustituimos en la primera ecuaci�n y hallamos x1:
|
