O dia-a-dia esta cheio de tais problemas e é natural que os matemáticos e outras pessoas os considerem interessantes e importantes. Um homem de negócios procura maximizar lucros e minimizar custos. Um engenheiro ao projetar um novo automóvel deseja maximizar a eficiência. Um piloto de linha aérea tenta minimizar o tempo de vôo e o consumo de combustível.

Em ciências, nós muitas vezes, achamos que a natureza age de maneira a maximizar ou minimizar uma certa quantidade.

Por exemplo, um raio de luz atravessa o sistema de lentes ao longo de uma trajetória que minimiza o tempo total do percurso, um fio flexível suspenso assume uma forma que minimiza a energia potencial em virtude da gravidade.

Sempre que usarmos termos como esses, podemos dizer que é alguma espécie de problema de máximos e mínimos, e se esse problema puder ser expresso em termos de variáveis e funções, os métodos de cálculo estarão disponíveis para nos ajudar a compreende-lo e resolve-lo.

 

Exemplo - Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de máximo volume que pode ser inscrito numa circunferência de raio R

Esboçando o desenho de um cilindro inscrito na esfera e colocando os dados vemos que:

Visualizando os casos extremos vemos que V é pequeno quando xesta perto do zero e também quando x esta perto de R, e assim entre esses extremos existe uma posição de volume máximo. Para acha-la, substituímos o valor de de (ii ) em (i )

obtendo-se em seguida

Igualando a zero para achar y e daí usando ( ii ) para achar x temos:

e =

A razão da altura e o diâmetro da base maior do cilindro é, portanto,

=

Esse resultado pode ser obtido de modo mais eficiente pelo método de derivação implicita.

Considerando-se x a variavel independente, sendo y função de x e então, derivando-se ( ii ) e igualando a zero, teremos

de ( i ) temos que

( ) =
	=