Uma estória famosa é a da coroa de Hierão e o ourives suspeito. Pelo que consta, esse ourives moldara para o rei, com um dado peso de ouro, uma coroa. Suspeitando de que pudesse haver prata oculta em meio ao ouro e não desejando desmanchar a coroa para tirar a prova, o rei encaminhou a questão a Arquimedes. E este, quando um dia se encontrava no banho, achou a solução, descobrindo a primeira lei de hidrostática - que um corpo, quando mergulhado num fluido, recebe um empuxo de intensidade igual ao peso do volume de água deslocado. Na sua excitação, ele saiu correndo nu pelas ruas em direção a sua casa gritando, "Eureka, Eureka!". Ele colocou a coroa num dos pratos de uma balança e um peso igual de ouro na outra e depois repetiu essa operação sob a água. O prato com a coroa ergueu-se, mostrando que ela continha material espúrio, menos denso que o ouro.

Plutarco, um escritor grego do 1.o século d.C., é autor de um livro chamado "As vidas dos Homens ilustres". No capítulo referente à vida do general Marcelo, que comandou o saque de Siracusa, ele dedica boa parte de sua narrativa ao grande geômetra grego. Em particular, conta Plutarco que de todas as descobertas que Arquimedes fez, a que o geômetra mais apreciava era a relação de áreas e volumes de um cilindro e da esfera nele contida. Mais precisamente, consideremos uma esfera de raio R, inscrita num cilindro circular reto, de altura 2R e cuja a base tem raio R .

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Então o volume do Cilindro é do volume da esfera, a área total do cilindro também é da área da esfera. Ainda segundo Plutarco, Arquimedes teria pedido a seus parentes e amigos que quando morresse mandassem colocar sobre sua sepultura um cilindro contendo uma esfera, com a inscrição da proporção acima referida.

Arquimedes foi morto quando os Romanos tentavam captura-lo na segunda guerra Púnica, apesar das ordens expressas do general Marcelo para que preservassem a vida do grande Sábio. O general Romano mandou construir um túmulo onde fez representar, atendendo aos desejos do sábio, uma esfera inscrita em um cilindro, por ele considerada sua maior descoberta.

Cícero, quando exercia funções de magistrado romano na Sicília, encontrou uma lapide contendo uma esfera inscrita num cilindro. Como ele mesmo conta, julgou ter achado o túmulo de Arquimedes e cuidou de restaurá-lo. Segundo o autor Howard Eves, há pouco mais de trinta anos, em 1965, durante uma escavação para construir um hotel em Siracusa, uma escavadeira deu com uma pedra com a mesma figura antiga de um cilindro contendo uma esfera. Assim, o túmulo de Arquimedes teria sido novamente encontrado nos tempos modernos. Mas desta vez faltou alguém com a clarividência de um Cícero e, ao que parece, esse túmulo está agora definitivamente perdido...

A relação das áreas e de volumes do cilindro e da esfera nele contida, como descrito acima, esta presente em um dos livros de Arquimedes, intitulado " Sobre a Esfera e o Cilindro, parte I ". Pela rigorosidade em seus livros, os estudiosos das obras de Arquimedes muitas vezes manifestaram surpresa diante de seus escritos, sentindo-se frustrados por não conseguirem entender como ele fez muitas de suas descobertas. Houve até quem suspeitasse que ele usasse algum processo de descoberta que propositadamente escondera da posteridade.

Foi um professor de Filologia, J. L. Heiberg (1854-1928) em 1906 quem possibilitou a resposta a algumas destas perguntas

Sabendo, por um artigo em uma revista especializada, da existência de um manuscrito que continha escritos religiosos, mas por baixo do texto havia outra escrita, de natureza matemática, suspeitou que esse códice ( tipo de documentos ) contivesse alguma obra de Arquimedes. E realmente era, além de varias obras já conhecidas, encontrava-se também o texto quase completo de uma obra de Arquimedes até então desconhecido, na qual revelava o procedimento por ele usado para chegar a muitas das descobertas já feitas por ele.

Este documento é um palimpsesto, isto é, um pergaminho usado para nele se escrever nele varias vezes. Nessa época, o pergaminho era um material muito caro, e assim as pessoas não jogavam fora, e sim raspava e polia sua superfície para um novo uso, "palimpsesto" significa "raspado novamente", daí o nome.

O interessante é que o texto de Arquimedes é do século X, a escrita religiosa é de alguma época dos séculos XII, XIII ou XIV.

Neste livro chamado de "o método", pois continha o chamado "método mecânico" para investigar problemas matemáticos.

É importante lembrar que o chamado "método dos indivisíveis", inventado no século XVII, que deu origem ao Cálculo diferencial e Integral, é muito parecido com o antigo "método mecânico" de Arquimedes, tendo seus métodos antecipado o cálculo integral 2000 anos antes de ser "inventado" por Newton e Leibniz. Ambos carecem de uma fundamentação sólida, mas contêm os ingredientes que facilitam as descobertas e que, no século XVII, foram decisivos para grandes avanços da Matemática.

Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática e lembram, consideravelmente, artigos de revistas especializadas modernas. além de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem altamente acabada e objetiva. Cerca de dez tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Talvez a mais notável das contribuições feitas à matemática por esses tratados se traduzam no desenvolvimento inicial de alguns métodos de cálculo integral. De seus trabalhos que ainda sobrevivem podemos citar, A medida de um circulo - onde inaugura um método clássico para o cálculo aproximado de ( entre os valores e ) obtido pela circunscrição e inscrição de um círculo com polígonos regulares de 96 lados, A Quadratura da Parábola, Sobre as Espirais, Sobre a Esfera e o Cilindro - constituído por dois livros , Sobre os Cones e os Esferóides, Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas - constituído por dois livros , Sobre os corpos flutuantes - constituído por dois livros.

Outros tratados de física-matemática escritos por Arquimedes se perderam, Papus menciona Sobre Alavancas e Teon cita um teorema de outro trabalho de Arquimedes sobre a teoria dos espelhos. Somente no século XVI, com o trabalho de Simon Stevin, a ciência da estática e a teoria da hidrostática avançaram além do ponto que Arquimedes chegara. Outros dois trabalhos que se perderam são Sobre o Calendário e Sobre a Construção de Esferas .