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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLAN
Definición inductiva de conjuntos
Una definición inductiva de conjuntos consiste en tres componentes distintivos:
La base, o cláusula base, de la definición establece los objetos determinados que están en el conjunto. Ésta parte de la definición tiene una doble función
La inducción, o cláusula inductiva, de una definición inductiva establece el camino por el cuál los elementos de un conjunto pueden ser combinados para obtener nuevos elementos. La cláusula inductiva siempre asegurará que si los objetos x, y, … , z son elementos de un conjunto, entonces pueden ser combinados de varias formas de tal manera que podemos obtener un nuevo elemento que también formará parte de conjunto. Así, mientras la cláusula base describe la construcción de bloques de un conjunto, la cláusula inductiva describe las operaciones que se puede llevar a cabo sobre los objetos para la construcción de nuevos elementos del conjunto.
La cláusula extrema enfatiza que a menos que un objeto pueda ser obtenido por medio de una aplicación finita de las clausulas base e inductiva, puede ser miembro del conjunto. La cláusula extrema de la definición inductiva de un conjunto S tiene una variedad de formas, como lo son:
(i) Ningún objeto es miembro del conjunto S a menos que se obtenga de un número finito de aplicaciones de las cláusulas base e inductiva.
(ii) El conjunto S es el conjunto más pequeño que satisface las cláusulas base e inductiva.
(iii) El conjunto S es el conjunto tal que S satisface las cláusulas base e inductiva y no un propio subconjunto de S que las satisface.
De hecho, todas éstas formas de la cláusula extrema son equivalentes. A menudo la cláusula extrema no está explícitamente definida en una definición inductiva.
Si nuestro Universo es el conjunto de enteros I, entonces una predicado definición del conjunto E de enteros pares no negativos puede ser dado como sigue:
E = { x | x ³ 0 Ù $y [ x = 2y ] }
El mismo conjunto puede ser definido inductivamente como sigue:
(Base) 0 Î E
(Inducción) Si n Î E, entonces (n+2) Î E
(Extrema) Ningún entero es elemento de E a menos que pueda ser mostrado como un número finito de aplicaciones de las clausulas 1 y 2.