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     INSTITUTO  TECNOLÓGICO  DE  MINATITLAN

Conceptos básicos teoría de conjuntos

Un Conjunto es cualquier colección de objetos el cual pueden ser tratado como una entidad, y un objeto de la colección se dice que es un elemento o miembro del conjunto. Dado un objeto x  y un conjunto S, si x es un elemento del conjunto S, lo podemos escribir como x Î S; si x no es un elemento del conjunto S, podemos escribirlo como Ø(x Î S) o también x Ï S. Los términos conjunto, colección y clase son usados como sinónimos, así como también los términos elemento o miembro.

Hay que hacer notar que no hemos dado una definición formal de conjuntos ni una base para decidir cuando un objeto es un miembro de un conjunto. Como en cualquier otra teoría matemática, no siempre se hace énfasis en los conceptos básicos o en las nociones indefinidas (como por ejemplo, punto o línea en geometría); la definición de conjunto y la relación es un elemento de son conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos. Como consecuencia de no tener definiciones para estos conceptos, no tenemos una prueba para determinar cuando algo es un conjunto o cuando, un objeto dado, es un elemento de un conjunto especificado. Por no tener una prueba, debemos de confiar en un sentido común del significado de los términos.

Casi cualquier cosa puede ser puede ser tratada como conjunto, viéndola desde un punto de vista muy matemático, lo que trataremos de ilustrar con los siguientes ejemplos.

El conjunto de enteros no negativos menores que 4. Éste es un conjunto finito con cuatro miembros: 0, 1, 2 y 3.

El conjunto de libros en la biblioteca del ITQ en este momento. Éste también es un conjunto finito. Un conjunto que tal vez sea difícil de listar dado que en éste momento pueden estar prestando y devolviendo libros, es decir hay flujo constante.

El conjunto de nombres de las personas que hablaron a Tombuctú el 15 de febrero del año 810 a. C. Éste es un conjunto finito que seguramente tendrá por lo menos un elemento. Aunque éste tiene una característica que tal vez no concuerde con la realidad por la cual será difícil determinar los miembros del conjunto, muchos matemáticos dicen que no hay porque no considerarlo un conjunto.

El conjunto de dinosaurios vivos en el Museo Británico. Asumiendo que no se están realizando experimentos siniestros en dicho museo, éste conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento, a lo que llamamos conjunto nulo o vacío.

El conjunto de enteros mayores que 3. Como es de suponerse, éste se trata de un conjunto infinito y no hay ninguna dificultad para definir cualquiera de los miembros de éste conjunto.

Desde que un conjunto es caracterizado por sus miembros, un conjunto puede ser especificado por declaración cuando un objeto está en el conjunto. Un conjunto finito puede ser especificado explícitamente por una lista de sus elementos. Los elementos de la lista deben ser separados por comas y la lista encerrada en llaves ( { } ), como lo muestran los siguientes ejemplos:

El conjunto que contiene los elementos A, B y C está denotado por { A, B, C }.

El conjunto que contiene todos los enteros pares no negativos menores que 10 es especificado por { 0, 2, 4, 6, 8 }.

Los elementos de un conjunto infinito no pueden ser listados explícitamente; en consecuencia, necesitamos una forma para describirlos implícitamente. La especificación implícita frecuentemente es hecha por el significado de predicados con una variable libre. El conjunto es definido de manera que los elementos del universo establecido por el conjunto hagan el predicado verdadero. De aquí, si P (x) es un predicado con una variable libre, el conjunto { x | P(x) } denota el conjunto S tal que  c Î S si y sólo si P (c) es verdadero.

Los siguientes ejemplos son de especificaciones implícitas de conjuntos. Las dos primeras son de conjuntos infinitos; la tercera es un conjunto finito.

El conjunto de enteros mayores que 10 es especificado por

{ x | x Î I Ù x >10 }

El conjunto de enteros pares puede ser especificado como

{ x | $y [ y Î I Ù x = 2y ] }

El conjunto { 1, 2, 3, 4, 5 } puede ser especificado como

{ x | x Î I Ù 1 £ x £ 5 }

Significados menos formales son usados frecuentemente para describir conjuntos. Una técnica es colocar las especificaciones del conjunto a la izquierda de una barra vertical, como lo muestran los siguientes ejemplos:

El conjunto de enteros múltiplos de 3 puede ser especificado por

{ 3x | x Î I } en lugar de

{ x | $y [ y Î I Ù x = 3y ] }.

El conjunto de números racionales puede ser especificado por

{ x / y | x, y Î I Ù y ¹ 0 }.

Si un conjunto es finito pero muy largo como para listarse fácilmente o si es un conjunto infinito, las elipses suelen ser usadas para especificar implícitamente un conjunto. Las siguientes especificaciones usan elipses para caracterizar una lista de los elementos de un conjunto.

El conjunto de enteros del 1 al 50 es especificado por

{ 1, 2, 3, …, 50 }

El conjunto de enteros pares no negativos es especificado por

{ 0, 2, 4, 6, … }

Todas éstas técnicas informales de especificaciones de conjuntos son convenientes por lo cual podemos usarlas libremente.

En un desarrollo más formal de la teoría de conjuntos, el siguiente axioma es usado para establecer que los conjuntos son completamente especificados por sus elementos. El axioma nos sirve como una definición de igualdad de conjuntos.

Axioma de Extensión: Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

El axioma de extensión puede ser expresado en notación lógica de dos maneras:

A = B Û "x [ x Î A Û x Î B ]

A = B Û { "x [ x Î A Þ x Î B ]  Ù "x [ x Î B Þ x Î A ]}

El axioma de extensión declara que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, aún sin considerar como están especificados, son iguales. Es decir, si un conjunto es especificado explícitamente con una lista, el orden en el que esté listado es irrelevante. Por ejemplo: el conjunto denotado por { A, B, C } es el mismo que (igual a) el conjunto denotado por { C, B, A } y { B, C, A }. Además, no importa el número de veces que aparezca un elemento en el conjunto,

{ A, B, A }, { A, B} y { A, A, A, B, B }

Son diferentes especificaciones de un mismo conjunto. Un conjunto finito puede ser caracterizado implícita o explícitamente, como lo demuestran los conjuntos

{ 1, 2, 3, 4, 5 } y { x | x Î I Ù 1 £ x £ 5 }

que son el mismo conjunto. También, el mismo conjunto puede ser especificado implícitamente con diferentes predicados, por ejemplo: el conjunto { x | x =0 } y { x | x Î I Ù -1 < x < 1 } son iguales.