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     INSTITUTO  TECNOLÓGICO  DE  MINATITLAN

Notación de conjuntos

Notación:

Ordinariamente usaremos letras mayúsculas para representar los conjuntos que incluiremos sus elementos dentro de llaves separados por comas, {}.

El símbolo elementoÎsignifica (es elemento de). Análogamente,Ïsignifica (no es elemento de). Ejemplo: Sea S la letra que designa el conjunto descrito precisamente como [a,b,c,d].

Por tanto, S es el conjunto cuyos elementos son las primeras cuatro letras minusculas del alfabeto. Podemos entonces escribir a ÎS, b ÎS, c ÎS y d ÎS. Similarmente fÏ S, 3 Ï S, etc.

Conjuntos Iguales:

Usamos el signo de igualdad para indicar que dos símbolos representan al mismo conjunto.

Definición: se dice que dos conjuntos S y T  son iguales si cada elemento de S es elemento de T y viceversa. Se escribe S=T.

Ejemplo: en el ejemplo anterior pusimos S = [a,b,c,d]; puesto que [a.b.c.d] es un símbolo para representar al mismo conjunto que representa S.

Debe notarse que, según esta definición, no importa el orden en que se expresan los elementos. Por lo tanto [a,b,c,d] =[b.d,c.a].

Conjuntos Vacios :

Es útil tener el concepto de un conjunto sin elemento.

Definición: un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjuntos vacios o conjunto  nulo y se representa por [ ] o por Æ. Ejemplo: considérese el conjunto S de todos los elementos que los son tanto [a,b,c] como de [d,e,f]. El conjunto S no tiene elementos,; luego, S = [ ].

Subconjuntos:

Definición: se dice que un conjunto S es subconjunto T, si todos los elementos de S los son T. El símboloÍ se lee (es subconjunto de).

Así, (SÍ T ) se lee (S es subconjunto de T). Decir que S no es subconjunto de T significa que algun elemento de S no lo es de T. En tal caso escribimos S Ë T. Ejemplo: sea S = (a.b.c.d) y T=(a.b.c.d.e). Vemos que S Í T. Sin embargo si  H={a.b.c.f}, notamos que f Ï T, de modo que HË T.

Entenderemos que el conjunto vacío, Æ, siempre es subconjunto de cualquier conjunto T. Si no fuese así ellos significaría que algún elemento de  Æ, no sería miembro de T, pero como Æ, no tiene elementos esto resultaría imposible.

Definición: se dice que S es un subconjunto propio de T, si S Í T, y además existe algún elemento de T que no esta en S. Esto lo escribimos  S Ì T.

Conjuntos Equivalentes:

Cuando los elementos de un conjunto se corresponden con los de un segundo conjunto de  modo que cada elemento de cada conjunto tenga uno, y solo uno, asociado en el otro conjunto, decimos que hay una correspondencia uno a uno entre ambos conjuntos.

Definición: dos conjuntos que se pueden poner en correspondencia uno a uno entre sí, se dice que son equivalentes. Si A es equivalente a B, se escribe A~B. Ejemplo: sean  S = {a.b.c.d} y T = {Ù,�,0,+}. Estos dos conjuntos son  equivalentes puesto que podemos hacer corresponder en forma uno a uno los elementos de un conjunto con los del otro.

Cardinalidad De Un Conjunto

Todos estamos familiarizados con el conjunto ordenado de los números naturales, N = {1,2,3,4..} y el conjunto ordenado de los número enteros no negativos W = {0,1,2,3,4...}.

Contar es el proceso por el cual podemos en correspondencia los elementos de un conjunto con algún subconjunto propio de N, comenzando con 1 y usando los elementos de N en orden y sin saltar ninguno. Un subconjunto así se llama subconjunto estándar de N. Ejemplo: es decir, el subconjunto estándar de N, {1,2,3,4} es equivalente a {a,b,c,d}decimos entonces que S tiene cuatro elementos. Estos lleva a la definición siguiente:

Definición: cuando un conjunto S se equipara con un subconjunto estándar de N, el ultimo elemento de N usado se llama   cardinalidad  del conjunto S y se denota por  n (S). Ejemplo: en el ejemplo anterior, n(S)= 4.

Definición: la cardinalidad Æ, el conjunto vacío es cero.

Tenemos que construir esta definición por separado, puesto que 0ÏN  y, por tanto, no tiene sentido hablar de equiparar elementos que no existen.

La claridad del conjunto {3} es 1, ya que {3} se puede equiparar con {1}. Es decir que el conjunto {3} tiene un miembro. Similarmente, la claridad del conjunto {0} es 1. hay que estar seguro de que entendemos la diferencia entre {} y {0}.

Dos números enteros no negativos m y n, son iguales si ambos son la cardinalidad del mismo conjunto o de conjuntos equivalentes. En tal caso, escribimos m=n..

Definición: si m y n son números entero no negativos, decir que m es  menor que n significa que n es la cardinalidad de un conjunto que se puede equipar con un subconjunto propio de un conjunto de cardinalidad n. Escribiremos entonces m < n. Si m < n podemos decir también que n > m. Ejemplo: S = {a.b.c} y T ={d,e,f,g,h}. Vemos que hay una correspondencia uno a uno entre S y el subconjunto propio de T, {d,e,f}. Por tanto, n (S) < n  (T), o bien puesto que n (S) =3 y  n (T)=5, ponemos 3 < 5.

Conjuntos Finitos E Infinitos:

Si es posible encontrar un subconjunto estándar  de N que se puede hacer corresponder uno a uno  con un conjunto dado S, o si S es el conjunto vacío,  decimos que S es finito. Si no, decimos que infinitos. Ejemplos:

T = {a,b,c..., x,y,z} es conjunto finito, puesto que es equivalente  {1,2,3,4,5...,25,26}.

El conjunto N = {1,2,3...} es infinito, puesto que no es posible equiparar con ningún subconjunto estándar de N.

Notese que, sin embargo si hay un equiparamiento  de N con uno de sus subconjuntos que no es un subconjunto estándar: como el conjunto de los números pares. Vemos que N se puede poner en correspondencia con un subconjunto propio de si mismo. Esto solo se puede hacer en un conjunto infinito.