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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MINATITLAN
Operaciones con conjuntos
Existen operaciones que nos permiten crear nuevos conjuntos a partir de otros conocidos. Definimos la unión A È B y la intersección A Ç B de dos conjuntos A y B como sigue:
A È B = { x : x Î A o x Î B o ambas }
A Ç B = { x : x Î A y x Î B }
Añadimos “o ambas” para dar énfasis y claridad a la definición de A È B. En español la palabra o tiene dos significados. A veces es el o inclusivo que significa lo uno, lo otro o ambos. Esta es la interpretación cuando un programa de estudios dice: se deben incluir dos años de ciencias o dos años de matemáticas. Otras veces o es el o exclusivo y significa lo uno o lo otro pero no ambas. Es el o que se utiliza en un menú que ofrece sopa o ensalada. En matemáticas siempre utilizamos o como el o inclusivo mientras que no se especifique lo contrario. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, es decir, si A Ç B = Æ.
Para dos conjuntos A y B, el complemento relativo A \ B es el conjunto de elementos que están en A y no están en B.
A \ B = { x : x Î A y x Ï B } = { x Î A : x Ï B }
Es el conjunto que se obtiene al quitar de A los elementos que están en B
Existen operaciones que nos permiten crear nuevos conjuntos a partir de otros conocidos. Definimos la unión A È B y la intersección A Ç B de dos conjuntos A y B como sigue:
A È B = { x : x Î A o x Î B o ambas }
A Ç B = { x : x Î A y x Î B }
Añadimos “o ambas” para dar énfasis y claridad a la definición de A È B. En español la palabra o tiene dos significados. A veces es el o inclusivo que significa lo uno, lo otro o ambos. Esta es la interpretación cuando un programa de estudios dice: se deben incluir dos años de ciencias o dos años de matemáticas. Otras veces o es el o exclusivo y significa lo uno o lo otro pero no ambas. Es el o que se utiliza en un menú que ofrece sopa o ensalada. En matemáticas siempre utilizamos o como el o inclusivo mientras que no se especifique lo contrario. Dos conjuntos A y B son disjuntos si no tienen elementos comunes, es decir, si A Ç B = Æ.
Para dos conjuntos A y B, el complemento relativo A \ B es el conjunto de elementos que están en A y no están en B.
A \ B = { x : x Î A y x Ï B } = { x Î A : x Ï B }
Es el conjunto que se obtiene al quitar de A los elementos que están en B.
La diferencia simétrica A Å B de los conjuntos A y B es el conjunto
A Å B = (A È B) \ (A Ç B) = (A \ B) È (B \ A)
A veces es conveniente ilustrar las relaciones entre conjuntos con dibujos llamados diagramas de Venn, en donde los conjuntos corresponden a subconjuntos del plano.
Ejemplo:
Sea A = {n Î N : n ≤ 7}, B = {n Î N : n es par y n ≤ 16} y E = {n Î N : n es par}. Entonces tenemos
A È B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,14,16},
A Ç B = {0,2,4,6},
A \ B = {1,3,5,7},
B \ A = {8,10,12,14,16},
A Å B = {1,3,5,7,8,10,12,14,16}.
En general es conveniente trabajar en un conjunto finito como N, R o∑*. Esto es, conviene fijar un conjunto U que llamamos conjunto universal o universo, y considerar solamente elementos de U y subconjuntos de U. Para A Í U el complemento relativo U \ A recibe el nombre de complemento absoluto o sencillamente complemento y se denota por Ac. Nótese que el complemento relativo A \ B puede escribirse en términos del complemento absoluto: A \ B = A Ç Bc
Ejemplo:
Nótese que los dos últimos diagramas de Venn muestran que AC Ç BC = (A È B)c. Esta identidad de conjuntos y muchas más son verdaderas en general. A continuación se muestran algunas identidades para conjuntos y operaciones entre conjuntos, muchas de ellas son análogas a las leyes de álgebra. Las leyes de idempotencia son nuevas, se supone que todos los conjuntos de la siguiente tabla son subconjuntos de algún conjunto universal U.
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Leyes de álgebra de conjuntos |
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A È B = B È A A Ç B = B Ç A |
Leyes conmutativas |
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(A È B) È C = A È (B È C) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C) |
Leyes asociativas |
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A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) |
Leyes distributivas |
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A È A = A A Ç A = A |
Leyes de la idempotencia |
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A È Æ = A A È U = U A Ç Æ = Æ A Ç U = A |
Leyes de Identidad |
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(Ac )c = A A È Ac = U A Ç Ac = Æ Uc = Æ Æc = U |
Complementación |
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(A È B)c = Ac Ç Bc (A Ç B)c = Ac È Bc |
Leyes de DeMorgan |
Gracias a las leyes asociativas podemos escribir los conjuntos A È B È C y A Ç B Ç C sin paréntesis y no causar confusión.
Las pruebas que utilizan diagramas de Venn parecen mucho más fáciles que las pruebas en las que analizamos las inclusiones mediante elementos. Los diagramas de Venn para A, B, C tiene 8 regiones y comprenden todas las posibilidades lógicas por lo que las demostraciones que utilizan diagramas de Venn son de hecho válidas.
Una objeción mucho más seria para las demostraciones con diagramas de Venn es que ocultan los procesos de pensamiento que se requieren para llevarlas a cabo; es decir, no se especifica la lógica que debe utilizarse para sombrear los diagramas. Otra razón para no utilizar diagramas de Venn es que son muy difíciles de dibujar cuando hay más de tres conjuntos.
