反轉的素數

可逆素數

可逆素數 (Reversible Prime) 又稱作反素數 (Emirp) 。但這又是什麼呢？它的英文名字頗令人費解。字典找不列解釋，也許有人以為是別國文字，也許有人以為這和 Emir (埃米爾 - 穆斯林對統治者的尊稱) 或 Emirate (埃米爾的轄地) 有關，但我看不然。

原來 Emirp 一字是把英文 Prime (素數) 反過來 (Reversal) 串而成。若一素數的「反過來」也是素數，這便是可逆素數或反素數了。

何謂「反過來」，如 13 => 31 、 149 => 941 等便是，我以為用數學的定義倒不如寫多一兩個例子來看或更易明白。當然嚴格來說，是一個函數，設素數 p = a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 + ...... + a₀ ，其中 a_i 為 0 - 9 之間的整數，

而 f(p) = a₀10ⁿ + a₁10^n-1 + ...... + a_n

若 f(p) 也是素數，p 便是反素數了。其實 f(p) 也會是一反素數的了。

自然地，101、11 等回文素數 (Palindromic Prime) 也必然可以反轉，反轉後也是素數。但我們把它們剔除於可逆素數定義以外，以免重覆之嫌。由此可逆素數必然是一雙一對的出現，如 13 和 31 、 149 和 941 等。

那麼我們哪些素數是可逆素數呢？

如：13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 107, 113, 149, 157, ... (OEIS A006567)

可逆半素數

同理可逆半素數 (Reversible Semiprime) 又稱作反半素數 (Emirpimes) ，這是一反轉了的半素數也是半素數的數。英文 Emirpimes 也是從 Semiprime (半素數) 中反過來串而成。其中半素數是指一合數僅由兩素數相乘而來。詳見《不是素數的殆素數》一文。當然可逆半素數亦不包括如 121 等回文半素數 (Palindromic Semiprime) 吧，故這可逆半素數也是一雙一對的走到我們眼前。

反半素數的例子如：15, 26, 39, 49, 51, 58, 62, 85, 93, 94, 115, 122, 123, ... (OEIS A097393)

我們研究可逆半素數的分佈時得到下表：

n	1	2	3	4	5	6	7
10ⁿ 以內的可逆半素數數目	0	10	90	898	7200	60732	506724

看了上表，閣下有什麼感覺？我看可逆半素數的分佈是越來越稀疏的。

看 Emirp 和 Prime 或 Emirpimes 也是從 Semiprime 兩對字，令我想起這也許是英文等由字母組成的文字體系的一種美。但在以方塊字組成詞語的中文體系中，這卻行不通了。不然我們看「數素」或「數素半」也真的不知會是什麼東西了。

參考文獻及網址：

Gardner, M. The Magic Numbers of Dr Matrix. Buffalo, New York : Prometheus, p. 230, 1985.

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 020-Reversible Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_020.htm.

Weisstein, E. W. "Emirp." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Emirp.html.

Weisstein, E. W. "Emirpimes." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/Emirpimes.html.