回文素數

回文素數

數學家把一些由左至右，或由右至左讀皆一樣的數字稱為回文數 (Palindromic Number) ，如 121、2332、13331等，而當中的素數便是回文素數 (Palindromic Prime，簡稱 Palprime ) 了。

這是回文素數的一些特性：

	所有個位素數皆是回文素數，即 2、3、5、7。
	兩位素數中只有 11 一個回文素數，因其餘的回文數如 22 等均是 11 的倍數。
	三位數以上，回文素數的起始一定是 1、3、7、9其中一個，因素數的個位只可是上述四數字之一。
	三位回文素數有 101、131、151、181、191、313、353、373、383、727、757、787、797、919 和 929，共十五個
	沒有四位回文素數，因所有四位回文數圴是 11 的倍數。其實在所有偶位數的回文數也都是 11 的倍數，即除 11 以外，也沒有其他偶數位 (Even Digits) 的回文素數。
	五位回文素數有 84 個，最小的是 11311 ，而最大的是 98689。

附表詳列五位以內的回文素數。

2	3	5	7	11	101	131	151	181	191
313	353	373	383	727	757	787	797	919	929
11311	11411	12421	12721	12821	13831	13931	14341	14741	15451
15551	16061	16361	16561	16661	17471	17971	18181	18481	19391
19891	30103	30203	30403	30703	30803	31013	31513	32323	32423
33533	34543	34843	35053	35153	35353	35753	36263	36563	37273
37573	38083	38183	38783	39293	70207	70507	70607	71317	71917
72227	73037	73637	74047	74747	75557	76367	76667	77377	77477
77977	78487	78787	79397	79697	79997	90709	91019	93139	93239
93739	94349	94649	94849	94949	95959	96269	96469	96769	97379
97579	97879	98389	98689

(OEIS A002385)

此外依位數 n 內的回文素數個數分佈如是：4, 1, 15, 0, 93, 0, 668, 0, 5172, ... (OEIS A016115 、A040025 、 A050251) 我們不難發現其中偶數位 (雙位除外) 的回文素數個數為 0，而奇數位的回文素數個數是幾何級數 (Geometry Series) 遞增，因此我們相信回文素數亦有無限多個，數學家賓斯 (W. D. Banks) 等在 2004年證明了

上式中 P(x) 為不少於 x 的回文素數個數，而 N(x) 為不少於 x 的回文數個數。

另數學家基思 (Mike Keith) 亦求出不大於 10¹¹ 以內的回文素數的倒數和是趨向極值約 1.32398。

現在已知的最大回文素數為 10¹⁸⁰⁰⁰⁴ + 248797842 * 10⁸⁹⁹⁹⁸ + 1 。

此素數達 180005 數位 (Digit) 的回文素數是在 2007 年由美國人都伯納 (Harvey Dubner) 發現的。

圓周率與回文素數

回文素數和圓周率也有一定關係，怎麼會啊？原來數學家把圓周率的一定數位作開始制成回文數，且發現有：

313

31415926535897932384626433833462648323979853562951413

三個回文素數，其罕有情度和 pi素數相差不遠。 (若知更多關於圓周率或 pi素數的資料，可參看另文《圓周率與素數》。

參考文獻及網址：

Beiler, A. H. Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematical Entertains. New York: Dover, 1964.

Caldwell, C. "The Top Twenty: Palindrome." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=53.

De Geest, P. "Palindromic Numbers and Other Recreational Topics." http://www.worldofnumbers.com/index.shtml.

De Geest, P. "Palindromic Prime Statistics--The Table." http://www.worldofnumbers.com/palprim1.htm.

De Geest, P. "Palindromic Prime Page 3." http://www.worldofnumbers.com/palprim3.htm.

De Geest, P. "Palindromic Sums of Squares of Consecutive Integers." http://www.worldofnumbers.com/sumsquare.htm.

Weisstein, E. W. "Palindromic Prime." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PalindromicPrime.html.