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EXPLORANDO LOS FRACTALES
Juvencio Alberto Betancourt Mar
Al método que usamos para construir el conjunto de Cantor se le llama método de Sistemas de Funciones Iteradas (SFI). La siguiente hoja fractal es un ejemplo:
Las reglas son las siguientes. Se elige un punto al azar en el plano. Con
algún generador de números aleatorios se saca un número del 1 al 4. Cada
número corresponde a un conjunto de ecuaciones que tienen todas esta forma,
difiriendo sólo en el valor de los parámetros:
xn+1 = a xn + b yn + e
yn+1 = c xn + d yn + f
Los valores de los parámetros en este caso son :
| conj. 1 | conj. 2 | conj. 3 | conj. 4 | |||
| a | 0.0000 | 0.7248 | 0.1583 | 0.3386 | ||
| b | 0.2439 | 0.0337 | -0.1297 | 0.3694 | ||
| c | 0.0000 | -0.0253 | 0.3550 | 0.2227 | ||
| d | 0.3053 | 0.7426 | 0.3676 | -0.0756 | ||
| e | 0.0000 | 0.2060 | 0.1383 | 0.0679 | ||
| f | 0.0000 | 0.2538 | 0.1750 | 0.0826 |
Es decir si tengo el punto (xn, yn), al azar se decide
cuál será la regla aplicar. Si sale elegida la regla 2, se aplican las
ecuaciones con los valores de los parámetros dados en el conjunto 2. Se
obtiene, de ese modo, el punto (xn+1, yn+1), al cual
se le aplica, a su vez, el mismo procedimiento. Cada punto que se obtiene
debe graficarse. Es conveniente descartar los primeros 100 puntos porque la
trayectoria inicial está apenas cayendo hacia el fractal atractor.
Otro ejemplo, las espirales:
Las ecuaciones son las mismas:
xn+1 = a xn + b yn + e
yn+1 = c xn + d yn + f
La diferencia es la tabla de parámetros.
| conj. 1 | conj. 2 | conj. 3 | |||
| a | 0.787879 | -0.121212 | 0.181818 | ||
| b | -0.424242 | 0.257576 | -0.136364 | ||
| c | 0.242424 | 0.151515 | 0.090909 | ||
| d | 0.859848 | 0.053030 | 0.181818 | ||
| e | 1.758647 | -6.721654 | 6.086107 | ||
| f | 1.408065 | 1.377236 | 1.568035 | ||
| probabilidad | 0.90 | 0.05 | 0.05 |
La principal diferencia en este caso es que
los tres conjuntos no deberán tener la misma probabilidad de aplicación. En
este caso, si el generador de números aleatorios saca números del 1 al 100,
podremos decir que se aplique el conjunto 1 si el generador nos da un número
entre 1 y 90; el conjunto 2, si es entre 91 y 95, y el conjunto 3, si el
número al azar fue entre 96 y 100.
Por último, tenemos a un árbol fractal:
| conj. 1 | conj. 2 | conj. 3 | conj. 4 | conj. 5 | |||
| a | 0.1950 | 0.4620 | -0.6370 | -0.0350 | -0.0580 | ||
| b | -0.4880 | 0.4140 | 0.0000 | 0.0700 | -0.0700 | ||
| c | 0.3440 | -0.2520 | 0.0000 | -0.4690 | 0.4530 | ||
| d | 0.4430 | 0.3610 | 0.5010 | 0.0220 | -0.1110 | ||
| e | 0.4431 | 0.2511 | 0.8562 | 0.4884 | 0.5976 | ||
| f | 0.2452 | 0.5692 | 0.2512 | 0.5069 | 0.0969 | ||
| probabilidad | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 | 0.2 |
BIBLIOGRAFÍA
1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction
to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983
3.Burke, P. Fractal, Chaos. http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/
