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EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS
Juvencio Alberto Betancourt Mar
La primera sección del diagrama de
bifurcaciones queda explicada con la bifurcación de duplicación de periodo,
una cada vez más cercana a la otra, hasta que llega un punto en que se
alcanza una órbita no periódica.
Las áreas oscuras nos representan las órbitas no periódicas. Vemos que
aparecen al final de la duplicación de periodo de la izquierda. Sin embargo,
vemos áreas blancas insertas, ¿qué significan? Si examinamos con cuidado el
área blanca más grande, vemos que en su parte izquierda muestra 3 líneas que
se van ramificando hacia la derecha.
Tres líneas solas significan periodo 3. Este, como vemos acaba por sufrir a
poca distancia de duplicaciones de periodo hasta nuevas órbitas no
periódicas (áreas oscuras). Sabemos como ocurre la duplicación de periodo.
La incógnita de este caso es ¿cómo es que aparece de repente la órbita de
periodo 3 si la antecedía solamente una órbita no periódica?
Para resolverlo, podemos utilizar la misma técnica que en el número anterior
para las duplicaciones de periodo. Las tres gráficas siguientes muestran f
3(x) para a=3.8,
a=3.83
y a=3.85
Vemos que al inicio, no hay más punto fijo (aparte del 0) que el punto fijo
de periodo 1, que aparece en todas las gráficas de f n(x). Pero
vemos que al crecer a, varios máximos y mínimos atraviesan la diagonal,
creando 6 puntos fijos de f 3(x), unos con una pendiente mayor
que 1 y otros con pendiente mayor que –1 (de valores entre –1 y 0), con lo
que el valor absoluto de éstas últimas es menor que 1, mientras que el de
las otras es mayor que 1. Por lo tanto, hay 3 puntos fijos inestables y 3
estables. Los estables son los puntos de la órbita de periodo 3 de f(x) que
vemos en su diagrama de bifurcaciones; los otros tres pertenecen a una
órbita inestable, también de periodo 3 de f(x).
En este tipo de bifurcación observamos dos cosas: aparecen órbitas sin que
ninguna las precediera (en el diagrama de bifurcaciones aparecen “de
repente”), y aparecen dos órbitas, una estable y otra inestable. Este
tipo de bifurcación se puede ver en todas las áreas claras del diagrama de
bifurcaciones. Se le llama bifurcación tangente o de silla-nodo.
BIBLIOGRAFÍA
1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction
to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press.
1993
3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to
Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992
