EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

La pregunta del número anterior fue: ¿por qué el ping-pong fractal que hicimos con una moneda nos genera el conjunto de Cantor?

Lo que ocurre es que se le están aplicando dos transformaciones al segmento de recta [0,1] a través de las reglas que se dieron. Si se le aplicara la primera regla a todos los puntos del segmento: se dibujará otro punto hacia 2/3 de la distancia del punto inicial al 0, lo que veríamos sería la contracción de todo el segmento a la tercera parte, todos los puntos nuevos estarían en [0, 1/3]. Si se aplicara la segunda regla a todo el segmento inicial: se dibujará el nuevo punto hacia 2/3 de la distancia del punto inicial al 1, obtendríamos lo mismo sólo que todos los puntos nuevos estarían en [2/3,1].

Supongamos que el juego implica ahora borrar los puntos viejos. Si aplicásemos la regla 1 a la mitad de los puntos del segmento inicial [0,1], elegidos al azar, y la otra regla a la otra mitad elegida al azar, tendríamos dos segmentos nuevos, uno en [0,1/3] y el otro en [2/3,1]. Es decir, quedaría vacío el segmento (1/3,2/3) como en la primera etapa de construcción determinista del conjunto de Cantor. Si volvemos a aplicar la regla a los nuevos dos segmentos, el resultado sería la segunda etapa de construcción del conjunto de Cantor. O sea, este procedimiento es el que construye el conjunto de Cantor.

Como lo que hacíamos en realidad fue usar un solo punto, al aplicarle la regla este punto fue moviéndose sólo por trayectorias que seguirían todos los puntos del segmento, evitando los espacios vacíos. Y como no se borraban los puntos previos, se iba formando rápidamente el conjunto completo. Claro, en las primeras etapas se puede caer en lugares donde en las siguientes hay espacios vacíos. Pero rápidamente, a medida que avanzan las etapas, el punto va cayendo dentro del conjunto, de donde las reglas no le permiten escapar (como un atractor).

Este procedimiento de construcción probabilística se ha aplicado a la construcción de fractales más interesantes y atractivos que el conjunto de Cantor. En el número siguiente veremos algunos ejemplos con sus gráficas. Todos ellos podrían dibujarse con una computadora, siguiendo las reglas marcadas.

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983