EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

¿Cómo ocurren las bifurcaciones en el mapa cuadrático?

Podemos examinarlo con ayuda de gráficas. Primero vemos la bifurcación que ocurre cuando a es igual a 3. En la gráfica siguiente vemos el mapa de la telaraña cuando del mapa cuadrático cuando a = 3. La única diferencia para el punto fijo que está entre 0.6 y 0.8 cuando a es un poco mayor o un poco menor que 3, es la pendiente del mismo. |f '(x)| cambia de valores mayores que –1 (por ejemplo –0.9) a valores menores (como –1.2).

Algo más interesante puede verse si se grafica el mapa de la telaraña no de f(x) = ax(1 – x ), sino de f ²(x), es decir el mapa que se obtendría iterando dos veces f(x). Algebraicamente es f ²(x) = f( f (x) ) = a[ax(1–x)][1 – ax(1–x)]
En las siguientes gráficas se muestra la gráfica de la telaraña de f ²(x) para a=2.8, a=3 y a=3.2, respectivamente:

Se puede ver que el punto fijo cerca de 0.6 es el mismo que aparece en f(x), pues todo punto fijo de un mapa f(x), así como aparece en cada iteración, aparecerá cada dos iteraciones, tres iteraciones, etc. Es por tanto punto fijo de f ²(x) , de f ³(x), de f ⁴(x), etc. La pendiente de la diagonal es 1, por lo que sirve para comparación. Como se ve, cuando a=2.8, la pendiente de la curva en el punto fijo es menor que 1 (estable). Al ser a=3, la pendiente de la curva en el punto fijo es ahora exactamente de 1. Aquí ocurre la bifurcación. Una vez que a supera el valor de 3, el punto fijo que examinábamos tiene una pendiente mayor que 1 (es ahora inestable), y ahora se ve rodeado de dos nuevos nuevos puntos fijos cuya pendiente, puede verse, es cercana a cero (son estables). Estos dos puntos fijos nuevos son los puntos de la órbita estable de periodo 2 de f(x).

De este modo es como ocurre la duplicación de periodo. El punto fijo original no deja de existir: se vuelve inestable, un repulsor. Los puntos de la órbita de periodo 2 aparecen cuando atraviesan la diagonal el máximo (de la derecha) y el mínimo de la curva. Como puede verse, los máximos y mínimos de la curva siguen acercándose al 1 y al 0 respectivamente, lo que provoca que la pendiente en los puntos fijos de periodo 2 aumenten su pendiente y pierdan estabilidad. Otra duplicación de periodo. La aparición del periodo 4 podría verse en el mapa f ⁴(x) del mismo modo que acabamos de ver la del periodo 2 en el mapa f ²(x). El fenómeno es análogo. El periodo 2 pierde estabilidad. Se puede ver en las siguientes gráficas con a=3.4 y a=3.5 respectivamente.

Vemos nuevamente el punto fijo ahora repulsor cerca de 0.7 en ambos casos. Pero ahora, en a=3.4, estan dos puntos fijos de este mapa f 4(x), que son los puntos de periodo 2 de f (x). Aún son estables aquí, pero al atravesar los máximos y mínimos cercanos a ellos la diagonal, se vuelven inestables. Si embargo, como vemos cuando a=3.5, aparecen ahora 4 puntos fijos nuevos, que son los puntos de periodo 4 de f (x), estables. La órbita de periodo 2 no desaparece, sólo se vuelve inestable.

Este tipo de bifurcación, que ocurre al atravesar la diagonal algunos máximos y mínimos del mapa que rodean a un punto fijo estable, se llama bifurcación de duplicación de periodo.

Puede notarse que no desaparecen las órbitas que se duplican, como parecería indicar el diagrama de bifurcaciones. Las órbitas ya no son estables, por eso no aparecen en un diagrama de bifurcaciones, pero siguen presentes. Y se van acumulando.

Existen otros tipos de bifurcaciones que veremos en el próximo número.

 

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993

3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992