HISTORIA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

Robert May es un físico teórico transformado en biólogo. Se interesó en cuestiones ecológicas vistas desde un punto de vista matemático. La ecología tenía desde hace tiempo en uso ecuaciones diferenciales y mapas para modelar el crecimiento de poblaciones. Una de ellas (que ya se vio en esta revista desde el primer número) es el mapa logístico, un mapa no lineal muy simple:

f(x)=ax(1–x)

x nos representa la fracción del la población que puede albergar un medio (1 es el total posible), a es la tasa de crecimiento. El modelo quiere decir que la población actual es proporcional a la población de la temporada previa y a la diferencia entre esta población y el límite máximo. Este último factor frena el crecimiento.

Se sabía que con ciertos valores del parámetro a, este modelo se comportaba cómodamente: la población inicial evolucionaba hasta un valor fijo, un estado estacionario, el cual dependía del parámetro a. Con otros valores, un poco mayores, de a, la población tendía a oscilar entre dos números; aumentando a, esta oscilación se duplicaba a 4 valores. Valores cada vez más cercanos de a iban provocando nuevas duplicaciones de periodo, hasta llegar al punto de acumulación donde se supone que la duplicación llega al infinito.

May se interesó no solo por el fenómeno de las duplicaciones de periodo, sino también por lo que ocurría por arriba del punto de acumulación. La mayoría de los biólogos (como los físicos en general) preferían no seguir más allá porque el mapa se comportaba de una manera errática, extraña, no parecía tener sentido. Los matemáticos habían estudiado la duplicación de periodo, y muy recientemente, habían encontrado un resultado sorprendente respecto a las órbitas periódicas (del que hablaremos después), pero las matemáticas teóricas estaban muy disociadas de las ciencias experimentales, y no se le había dado la importancia debida.

May las revisó como biólogo. Encontró que más allá del punto de acumulación existen comportamientos poblacionales no periódicos, pero predecibles. Mas también vio que un poco más adelante (en el valor de a) aparecen nuevamente órbitas periódicas (por ejemplo de periodo 5) que, al aumentar más a, sufren duplicaciones de periodo hasta llegar a nuevos puntos de acumulación donde desaparece la periodicidad. Finalmente hay secciones no periódicas que tampoco son predecibles: presentan sensibilidad a las condiciones iniciales. Parecen comportarse aleatoriamente. May publicó en Nature, en 1976, un artículo mostrando estas y otras “curiosidades”. Su objetivo era demostrar que aún modelos matemáticos muy sencillos exhibían comportamientos muy complejos. Y que esta podía ser la llave para el entendimiento de la complejidad en la naturaleza.

En la portada puede verse el comportamiento global de f(x)=ax(1–x). El eje horizontal representa los valores de a desde 2 a 4, el vertical representa los valores de x después de 100 iteraciones. Las áreas claras son las secciones donde el mapa es estable y cae en un comportamiento estacionario o periódico (las ramificaciones son las duplicaciones de periodo) Las áreas densas son los comportamientos no periódicos.

May estudio modelos más complejos, por ejemplo, de epidemias. Se ha visto que éstas se comportan más o menos cíclicamente. Hizo un modelo de las mismas y predijo que una perturbación del sistema podría producir oscilaciones mayores antes de llegar al cambio deseado. Este fenómeno fue observado realmente en campañas de vacunación de rubéola en Gran Bretaña: parecía que la campaña producía un incremento en la morbilidad al principio.

May fue uno de los principales promotores del cambio en fijación de los científicos por los modelos lineales, al mostrarles que en las propias matemáticas, aún sencillas, podrían encontrar la misma complejidad que parecía ser el sello de la naturaleza. Si antes se pensaba que esta complejidad era fruto de la conjunción de muchos factores externos, ¿no cabría la posibilidad, en realidad, que tuviera su origen en el propio sistema, por simple que fuera?

 

BIBLIOGRAFÍA

1.Glieck, J. Chaos. Making a new science. Penguin Books. New York, 1987

2.May, R. “Simple mathematical models with very complicated dynamics”. Nature. 261 [5560] 459-467

3.Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. New York, 1993

4.Stewart, I. ¿Juega Dios a los dados? La nueva matemática del Caos. Grijalbo Mondadori. Barcelona, 1991