EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Mapas unidimensionales (continuación)
 

En el número anterior vimos que, al graficar una curva alrededor de un punto fijo semeja una línea recta. Entonces el comportamiento del mapa cerca del punto fijo es semejante al que tendría en el mapa lineal f(x)=ax.

¿Cómo podemos determinar si el punto fijo es atractor o repulsor?: con ayuda del cálculo.

El mapa f(x)=ax es, gráficamente, una línea recta, y el parámetro a es su pendiente; es decir la tangente del ángulo de inclinación. Entonces, si pudiéramos determinar la pendiente de la curva en un punto fijo, podríamos usarla para investigar la estabilidad del punto fijo. El problema es equivalente a determinar la estabilidad de f(x)=ax (que ya vimos en los números anteriores), ya que localmente (cerda del punto fijo), la curva se comporta como la línea recta.

Y para obtener la pendiente, simplemente tenemos que encontrar la derivada del mapa evaluada en el punto fijo.

Por ejemplo, el mapa logístico f(x)= 2x(1 – x), donde ya vimos que x=0 es un punto fijo repulsor y que x=0.5 es un punto fijo atractor.

Obtenemos la derivada:

y la evaluamos para cada punto fijo:

El valor absoluto de la derivada de f(x) en 0 es 2, es decir mayor que 1, por lo tanto el 0 es inestable, o sea una fuente o repulsor.

En cambio el 0.5 es estable (atractor o sumidero) porque el valor absoluto de su derivada es menor que 1.

Entonces aquí tenemos la regla para evaluar la estabilidad de un punto fijo p:

¿Y si |f’(p)|=1?, hay que examinar lo que pasa en f(x)=ax. Si a = 1, entonces f(x)=x, y cualquier valor inicial es un punto fijo. Si a= – 1, entonces f(x)= –x, y cualquier valor inicial reaparece cada dos iteraciones (se trata de una órbita de período 2). No atraen ni repelen. Sin embargo, esta conclusión no puede aplicarse a los demás mapas porque las curvas se parecen a la línea recta, pero no son iguales, no es el mismo comportamiento. Entonces la regla anterior no es útil para el caso de que |f’(p)|=1, y se debe examinar por otro método (puede usarse el mapa de la telaraña, iterando cerca del punto fijo).
 

En el próximo número examinaremos un poco más el mapa logístico y su dinámica.
 

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993

3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992