EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Dimensión fractal
(continuación)

Uno de los fractales simples más famosos es el triángulo de Koch. Aquí se muestran las primeras 6 etapas de lo que sería un proceso infinito para generarlo.

Este sirvió a Mandelbrot de modelo de una costa. El triángulo de Koch es una curva unidimensional (topológicamente ha-blando). Sin embargo no podemos hacer uso de una “regla” para medir su longitud, porque entre más pequeña sea la regla, mayor sería la longitud, sin límite.

La dimensión fractal de este conjunto no es 1, como podemos demostrarlo por un cálculo simple.

Para este tipo de fractales, que se construyen recursivamente, puede utilizarse una versión simplificada de la fórmula de la dimensión fractal, la llamada Dimensión Similaridad:

donde N es el número de partes similares y r es la razón de similaridad.

Para utilizar la fórmula se consideran las etapas de construcción del fractal. Al pasar de una etapa a otra, una sección del conjunto aparece multiplicada varias veces, pero en tamaño más pequeño. Obsérvese en el triángulo de Koch que cada lado del triángulo sufre la siguiente mutación:

El segmento original se transforma en una figura que, en realidad, consta de cuatro segmentos rectos unidos, cada uno de un tercio del tamaño del segmento original.

En cada etapa es lo mismo para cada segmento de recta. Entonces, N = 4 y r=1/3.

Esta es la dimensión fractal del triángulo de Koch. Se ha encontrado que las costas tienen dimensiones fractales de valores cercanos a este.

¿De dónde sale la dimensión similaridad? De la misma fórmula de la dimensión fractal que ya conocíamos:

Dijimos que N es el número de “reglas” que caben en el conjunto a medir, ε es el tamaño de la “regla”. Como en los fractales que se construyen por similaridad, el número de reglas necesarias es igual al número de reglas iniciales (a) por el número de reglas (N) en que se divide la original elevado al número de etapa (n), es decir aNⁿ. Tomemos el tamaño de la regla original como la unidad. Como el tamaño de la regla es disminuido en cada etapa por una razón 1/r, en la n-ésima etapa, el tamaño de la regla sería 1/rⁿ
Por lo tanto, la dimensión fractal sería:

Y aquí tenemos la fórmula de la dimensión similaridad, que se puede emplear en fractales que se construyen por procesos iterativos simples.
 

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983