HISTORIA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

Durante el siglo XIX, las matemáticas se enfocaron, en cuanto a las ecuaciones diferenciales que modelan los procesos naturales, a estudiar los llamados sistemas lineales, aquellos que tenían soluciones periódicas (el movimiento de un péndulo) o asintóticas (como el movimiento de una canica cuando se deja caer en un cuenco, finalmente se detiene en el fondo del mismo, no importando donde comenzó su movimiento.

El estudio de los sistemas lineales fue exitoso, se encontraron muchas formas de entenderlos, resolverlos aunque fuera aproximadamente; por su linealidad eran característicamente predictibles.

Tal vez debido a la educación recibida en las escuelas o el entrenamiento en los laboratorios, pocos científicos se preocupaban de los sistemas no lineales, que son la inmensa mayoría. Los procesos naturales eran simplificados para ajustarlos a sistemas lineales y poder así ser estudiados; pero con frecuencia se encontraban con aberraciones debido a esas simplificaciones: “agua seca”, péndulos sin fricción imposibles, etc.. Tal vez algo importante se perdía en la simplificación...

Pero los sistemas no lineales eran duros de atacar, para la mayoría no existían soluciones analíticas al estilo de los sistemas lineales, sólo se podía tener soluciones aproximadas.

En general, las soluciones aproximadas son en forma de series (difícil y no aplicable en general) o de soluciones numéricas (aplicable en general). El problema con las soluciones aproximadas es que se necesitan muchas operaciones matemáticas repetitivas para encontrar una solución. Hacer un cálculo del clima, por ejemplo, podría tardar meses, cuando el resultado ya no tuviera mucha utilidad práctica.

La llegada de las computadoras electrónicas vino a cambiar este panorama.

Edward N. Lorenz, en 1961, en el Instituto Tecnológico de Massachussets, ya usaba una computadora para simular el clima. Aquélla era la época de las computadoras de válvulas de vacío, de gran tamaño y muy lentas en comparación con las computadoras de escritorio actuales. Él usaba una Royal McBee.

Lorenz modeló el clima de un mundo ideal, sin nubes, el terreno suave como un cristal, sin montañas, nunca llegaba la noche, sin lluvia y sin cambio de estaciones. Era necesario estas simplificaciones para tener un modelo matemático lo bastante sencillo para poder manejarse. De hecho, el modelo constaba de 12 ecuaciones.

Lorenz introducía las condiciones iniciales en la computadora y ésta hacía el cálculo numérico, arrojando resultados del clima a través del tiempo. Los datos que imprimía eran presiones, direcciones y velocidades del viento. Trataba de encontrar alguna periodicidad en los cambios.

Las corridas tomaban mucho tiempo, por lo que, en una ocasión, para no tener que comenzar desde el principio, de un listado ya impreso tomó los valores de la mitad de la corrida y los introdujo como valores iniciales en la computadora. Y se fue a tomar un café. Cuando regresó, encontró que la lista impresa anteriormente ya no coincidía con lo que estaba arrojando la computadora.

Después de una revisión exhaustiva de la máquina hasta que encontró la respuesta: la computadora manejaba interna-mente seis decimales para sus cálculos, pero imprimía solamente tres. Lorenz había tomado estos números con tres decimales para alimentar la computadora. Las diferencias de diezmilésimos que existían entre las cifras se fueron incrementado rápidamente: se había topado con la esencia del Caos.

Lorenz fue capaz de reducir el sistema de doce ecuaciones a uno de tres que presentaba esa misma característica: las pequeñas diferencias en las condiciones iniciales se propagaban exponencialmente. Y la solución no era periódica.

La propagación exponencial, llamada ahora sensibilidad a las condiciones iniciales, es conocida comúnmente, gracias a Lorenz, como efecto mariposa (de aquí el logotipo de esta revista). Este nombre lo recibió de una conferencia que dio Lorenz en Washington en 1972:

“Predictibilidad: ¿El aleteo de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas?”

Esto se refiere a la sensibilidad a las condiciones iniciales del clima: una causa que parece insignificante (el aleteo de la mariposa) se propaga exponencialmente hasta producir un efecto considerable.

Si el clima realmente se comporta de esa manera, ¿cómo es posible predecirlo, ya que no podría medirse las condiciones iniciales con exactitud, sin dejar descuidado ni el vuelo de la mariposa?

Esa conferencia fue en 1972, pero regresemos a los sesentas: en 1963 Lorenz publicó un artículo que estudiaba sus descubrimientos con las tres ecuaciones diferenciales que presentaban el efecto mariposa “Deterministic Nonperiodic Flow”. Lo publicó en una revista de meteorología. Y sus resultados permanecieron casi completamente ignorados por años.

En la gráfica se muestra el llamado atractor de Lorenz, que se obtiene con las tres ecuaciones ya mencionadas.
 

BIBLIOGRAFÍA

1.Glieck, J. Chaos. Making a new science. Penguin Books. New York, 1987

2.Lorenz, E. N. The Essence of Chaos. University of Washington. Seattle. 1993

3.Ott, E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. New York, 1993

4.Stewart, I. ¿Juega Dios a los dados? La nueva matemática del Caos. Grijalbo Mondadori. Barcelona, 1991