EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Mapas unidimensionales (continuación)

En el número anterior estuvimos examinando valores positivos de a en f(x) = ax. ¿Qué pasa con los valores negativos de a? La gráfica 1 (con a = –0.5) nos muestra que las iteraciones nos hacen oscilar consecutivamente entre valores positivos y negativos. Y en este caso la órbita es atraída hacia el cero (igual que si hubiese sido a = 0.5).

La tabla anterior nos muestra que para a = 0.5 y a= –0.5 los valores absolutos coinciden, sólo hay diferencia en los signos (y sólo cada dos iteraciones). El mapa de la telaraña (Gráfica 2) de estos dos casos empalmados nos muestra la coincidencia exacta de la órbita cada dos iteraciones. Y finalmente, el destino es el mismo: el punto 0 atrae las trayectorias.

Si se intenta con valores menores que –1 (p. ej. a = –2), se verá un resultado similar: los valores absolutos de las trayectorias son idénticos a los de la trayectorias con a > 1, y el punto 0 resulta ser un repulsor.

Vemos entonces que podemos extender la conclusión del número pasado a valores absolutos de a en el mapa f(x)=ax: Si |a|<1, el 0 es un sumidero o atractor. Si |a|>1, el 0 es una fuente o repulsor.

Haciendo uso de la gráfica de la telaraña y de la conclusión anterior, se puede analizar la serie de los mapas logísticos (aquellos donde f(x) = ax(1–x), a es el parámetro), que revisamos un poco en el Vol. 1, No. 1 de esta revista.

Si recordamos, cuando a=2, entonces, casi cualquier valor inicial se dirigirá, al ir iterando, al 0.5. Este debe ser un atractor. La gráfica de la telaraña lo muestra fácilmente.

La misma gráfica (1) nos muestra que el 0 es un repulsor.

En cambio, un valor de a=0.8 convierte a 0 en un atractor como nos muestra la Gráfica 4.

Finalmente, cuando a=3.2, tanto el 0 como el otro punto fijo (donde cruza la diagonal con la curva) son repulsores (Gráfica 5).

Se puede ver que ahora la órbita se aleja del 0 y del otro punto fijo (0.6875) y se estabiliza en una oscilación entre dos puntos (aprox. 0.799 y 0.513). A esto se le conoce como una órbita periódica. En este caso es una órbita de periodo 2. Más adelante analiza-remos las órbitas periódicas.

El parámetro a de los mapas logísticos no funciona igual que en el mapa lineal que vimos anteriormente.

Si hacemos un acercamiento a la gráfica de la telaraña podremos tener una pista de lo que pasa.

En la gráfica 6 vemos un incremento por 10 veces del vecindario del punto 0 (que es atractor aquí) de la Gráfica 4. La curva del mapa logístico parece una línea recta ahora, y la gráfica es semejante a la del mapa lineal (recordar la Gráfica 5 del número anterior). Cerca del punto fijo 0, el mapa se comporta como si fuera lineal. Y si hacemos lo mismo con cualquier otra gráfica de la telaraña del mapa logístico nos vamos a encontrar que el comportamiento local (cercano al punto) de los puntos fijos (aunque no sea el 0) es semejante al del mapa lineal f(x)=ax.

En el próximo número analizaremos cómo podemos determinar si un punto fijo cualquiera del mapa es atractor o repulsor, basándonos en el comportamiento local de la gráfica de la telaraña.


BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993

3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992