EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Dimensión fractal
(continuación)

El conjunto fractal más sencillo quizá es el conjunto de Cantor. Tal vez sea también el más antiguamente conocido.

Se construye de este modo iterativo.

Téngase un segmento de recta:

Este segmento divídase en tres partes iguales y elimínese la de en medio:

Con los segmentos restantes, repítase el proceso:

Y así sucesivamente:

El límite de este proceso es un conjunto de puntos llamado conjunto o polvo de Cantor.

La dimensión fractal del conjunto de Cantor es fácil de calcular.
Recordemos la deducción que se hizo en el número pasado acerca de la medida de un objeto:

Si n era la dimensión fractal, podemos hacer un despeje y aplicando límites:

N es el número de “reglas” que caben en el conjunto a medir, ε es el tamaño de la “regla”.

Si, en el conjunto de Cantor el segmento original medía 1, supóngase que se escoge una regla que mida 1/3. Esta regla dará como medida 2 x (1/3). En la siguiente figura se ve eso: dos veces se empalmará sobre la primera iteración del conjunto de Cantor (pero puede ser lo mismo con cualquier otra etapa del proceso).

Aquí N=2 cuando ε = 1/3. Si ε= 1/9, entonces N=4, y así sucesivamente N=2^a cuando ε=1/3^a

O sea:

Como se ve, la dimensión fractal es fraccionaria.

Si meditamos un poco en que consiste el conjunto de Cantor en sí mismo nos daremos cuenta de que el proceso que lo genera (quitando el tercio central) nos deja un conjunto de puntos no conectados, meramente. ¿Cuál es la dimensión topológica de un conjunto de puntos? Por muchos que sean los puntos no conectados, puntos son y su dimensión topológica es cero, como la de un punto aislado.

La dimensión fractal en el conjunto de Cantor, como ya vimos es mayor que cero. Por lo tanto, según la definición de Mandelbrot, el conjunto de Cantor es un fractal.

Si colocaramos aislada-mente unos puntos no conectados, estos no serían capaces de “llenar” un segmento de recta de dimensión 1, puesto que la longitud de cada punto es cero y sumadas las longitudes de todos los puntos, nos da cero.

No obstante un fractal puede no seguir esta lógica. El hecho de que el conjunto de Cantor no tenga una dimensión fractal de cero nos indica que se agrupan tan densamente que son capaces de “llenar” parcialmente un segmento de recta. No es que el conjunto cubra un 63 % del segmento (a simple vista se ve que no es así) sino que el conjunto es, en su densidad, cercano a un segmento de recta, independiente-mente de la “longitud” que pudiera tener.

El próximo número veremos un conjunto fractal bidimensional que Mandelbrot utilizó como un modelo muy simple de costa.

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983