EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Dimensión fractal

La característica distintiva de los fractales es su dimensión fractal. No hay un consenso en la definición de los propios fractales, hay que aclarar, sin embargo, el fundamento esencial es la dimensión en cualquier caso. Para explicar el concepto de dimensión fractal estudiaremos el caso de los no fractales.

Supóngase que se quiere medir la longitud de un alambre torcido, pero sin estirarlo porque se rompería, ¿qué se debe hacer? Una solución aproximada es usar una regla. Si esta regla no tuviese graduación alguna, únicamente supiésemos su longitud total, el problema es algo mayor, pero es posible hacer la aproximación, empalmando la regla sobre la figura tantas veces sean necesarias para cubrirla, como se muestra en la figura. Si la regla mide 10 cm, una medida aproximada del alambre sería 19 x 10 cm = 190 cm, porque se necesitaron 19 empalmes de la regla para cubrir el alambre.

Entonces el alambre mide N x ε, donde ε es la medida de la regla misma. Lógicamente, una regla menor nos dará una mejor aproximación en este caso, y suponemos que entre más pequeña sea la regla, más próximo el resultado al real. Entonces, si utilizamos un conjunto de reglas cada vez más pequeñas, nos reportará cada una un resultado diferente, pero que se va aproximando visiblemente a otro, al límite. Este límite será la medida real. Por eso diremos que L (la medida de la figura) es

Por supuesto, al disminuir ε, se incrementa N. Que no se trata de que ε = 0, porque, entonces, por grande que sea N, L siempre saldrá cero.

¿Qué pasa en el caso de que se trate de medir una figura bidimensional? En este caso, no podemos utilizar una regla unidimensional, ¡nunca podríamos cubrir el área completamente!, parecería que tenemos una medida infinita.

Entonces, debemos utilizar una regla bidimensional, como se muestra en la figura. Esta regla puede ser un cuadrado. Entonces la medida L será aquí L = N x c otra vez, donde c es la medida del cuadrado. La medida de un cuadrado es ε², donde ε es la longitud de su lado.

Entonces, L = N x ε²

Y, lo mismo, si utilizamos cuadrados más pequeños, el resultado será más exacto. E igual, esto lo podemos expresar como:

¿Qué pasaría si usáramos los cuadrados para medir la curva unidimensional anterior? Obtendríamos cero. Una curva no tiene área.

Podemos pasar a una figura tridimensional y tendremos algo semejante: hay que ocupar una regla distinta, quizá un cubo. Y L = N x ε³, donde ε es la arista del cubo. Si usamos un cuadrado o una regla lineal, nos daría una medida infinita.

Y si al área bidimensional la medimos con un cubo, nos dará cero de medida.

Es decir, a cada objeto debemos medirlo con la regla apropiada para que nos de una medida significativa.

Si generalizamos esto a cualquier objeto o conjunto, podemos decir que:

donde n es la dimensión del objeto o conjunto.

Existen algunos problemas particulares que pueden resolverse con este concepto.

Cuando se intenta medir la frontera de un país con otro o con el mar, muchas veces sucede que distintas mediciones dan distintos resultados. ¿Qué significa esto? Podría pensarse que se debe a que se utilizan “reglas” de distintos tamaños, y ciertamente es así, pero se supone que al utilizar reglas más pequeñas aumentaremos la exactitud. Pero obsérvese, por ejemplo en una línea costera. Si es vista desde satélite, muestra detalles. Si vamos aumentando la fotografía, encontramos más detalles que antes no veíamos. Y si continuamos, vamos a llegar a ver las rocas, la arena, etc. Las reglas más pequeñas tendrían que tomar en cuenta estos detalles, rodear rocas, piedras… o granos de arena. Y entre más pequeña sea la regla, más grande es el resultado, pero no tiene un límite, porque los detalles aparecen a cualquier escala. Entonces resulta que la línea costera ¡es infinita!

No obstante, veámoslo con el concepto que aprendimos arriba. Si la regla nos da un resultado infinito, es que no es la apropiada. La regla utilizada es de dimensión 1, entonces usemos una de dimensión 2, es decir cuadrados. Pero esta nos daría cero. ¿Entonces?... ni dimensión 1 porque es muy pequeña para cubrir la línea costera, ni dimensión 2, porque es demasiado grande… Sí, la respuesta es que debe ser una dimensión fraccionaria, entre 1 y 2.

A la dimensión n que dedujimos arriba se le llama dimensión fractal. Y un objeto o conjunto fractal es, según algunos, aquél que tiene una dimensión fractal fraccionaria. Según Mandelbrot, la definición es otra. Para esto hay que tratar el término dimensión topológica.

Un punto no puede ser dividido de ningún modo. Tiene dimensión topológica cero. Una curva puede ser cortada en 2 con un solo punto situado en ella, como se ve en la siguiente figura (exagerando el punto para que sea visible).

La curva es entonces de dimensión 1 porque basta un objeto de dimensión cero para cortarla en dos. Un objeto plano sólo puede ser dividido en dos por una curva, no por un punto. La curva que lo divide es de dimensión 1, el objeto plano es, entonces de dimensión topológica 2.

Una esfera puede dividirse en dos con un cuadrado (plano), pero no con una curva. Entonces es de dimensión topológica 3. Y así, sucesivamente. Las dimensiones topológicas son número enteros no negativos.

Mandelbrot define a un fractal como un conjunto cuya dimensión fractal es mayor que la dimensión topológica. La línea costera puede ser cortada por un punto, es entonces de dimensión topológica 1. Pero vimos que su dimensión fractal es mayor que 1. Por lo tanto es un fractal.
He estado hablando de conjuntos porque no se precisa que sea un objeto conexo (es decir, conectado), puede ser una colección finita o infinita de distintos elementos, como una serie de puntos.

En el siguiente número veremos algunos conjuntos fractales simples y calcularemos su dimensión fractal. Los conjuntos fractales, en realidad, son más fáciles de imaginar de lo que parece, porque representan de modo más sencillo muchos objetos que vemos en la naturaleza.


BIBLIOGRAFÍA
1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983