EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

2. Mapas unidimensionales

En el número pasado se examinó un mapa unidimensional. Los mapas unidimensionales son aquellos definidos por una sola variable. En el caso del mapa logístico, la única variable es x. Por esto se dice que el mapa está definido en el conjunto de los números reales (). Cualquier punto del dominio (o del rango) del mapa puede localizarse en una línea recta (unidimensional).

Un ejemplo de mapa bidimensional es el de Hénon, expresada de este modo:

f(x,y) = (a – x² + by, x)

Aquí a y b son parámetros; son dos en este caso, pero pudieron haber sido menos o más o ninguno: su número es independiente de la dimensionalidad del mapa.

Se tienen dos variables: x y y, por lo tanto el mapa es bidimensional. La simbología empleada es importante. Para aplicar el mapa se necesita una pareja de valores iniciales x y y. Y como resultado se obtiene otra pareja de valores x, y. Cada pareja de valores puede graficarse en un plano como un solo punto, el punto (x, y), donde x, y son las coordenadas. La pareja ordenada (x, y) puede considerarse un único valor. Y el espacio bidimensional (el plano cartesiano) donde se puede localizar cada punto es denominado ²

En un mapa tridimensional se requieren tres valores ordenados, por ejemplo (x, y, z), que puede localizarse en el espacio tridimensional ³. Y así sucesivamente.

Daremos unas definiciones para comenzar en materia:

Órbita es el conjunto de puntos resultantes de las iteraciones. Para un mapa unidimensional, la orbita es el conjunto {x, f(x), f²(x),…}.

Condición inicial o valor inicial es el punto de inicio de una órbita (en el caso anterior, es x). Cualquier punto de la órbita puede ser, a su vez condición inicial para la órbita representada por este punto y sus iteraciones sucesivas.

Punto fijo de un mapa es un punto tal que, en el caso de mapas unidimensionales: f(p) = p, donde p es el punto fijo. Por ejemplo, para el mapa:

f(x) = 2x(1– x)

Si utilizo x = 0.5 como valor inicial, la primera iteración, f(0.5) = 2(0.5)(1-0.5) = 0.5 . Otra vez tenemos 0.5. Obviamente si volvemos a iterar este valor, seguiremos teniendo el mismo. Entonces f(0.5) = 0.5, y x = 0.5 es un punto fijo de este mapa.

Un método muy útil para dar seguimiento a las órbitas de mapas unidimensionales es la gráfica de la telaraña. Para crearlo se grafica la función f que representa al mapa junto con la línea y = x (es una diagonal a 45°).

Por ejemplo para el mapa de las bacterias del pasado número: f(x) = 2x (Gráfica 1)

Esta gráfica nos es útil para seguir las órbitas, de este modo: Un valor inicial x, al ser iterado nos da f(x), que se puede leer en la gráfica de f(x). Supongamos que x = 0.25, entonces f(x) = 0.5, lo que se puede leer fácilmente en la gráfica (ver Gráfica 2).

Pero normalmente querremos visualizar una órbita con múltiples iteraciones, no con una sola. Nos gustaría saber qué sigue al seguir iterando. Tenemos ahora un 0.5. Podríamos leerlo como en el caso anterior, comenzando desde el eje x. Pero no es necesario, gracias a y = x, que actúa como un espejo.

Obsérvese en la Gráfica 3 lo que remarca la elipse: en lugar de iniciar desde el eje x, puede trazarse una línea desde el punto anterior en la curva f(x) hasta tocar y = x y luego proseguir hacia arriba como antes; vemos que el siguiente punto en la iteración es 1. La línea y = x está actuando como si fuera el eje x.

Este procedimiento puede continuar indefinidamente, y para simplificar, no trazaremos las prolongaciones hacia el eje f(x).

Podemos ver (Gráfica 4), en este caso, que la órbita se aleja al infinito: los valores van creciendo sin límite.

Los pasos para trazar la gráfica de la telaraña para un mapa son, entonces:

1. Se grafican f(x) y y = x.
2. Se traza una línea vertical desde el punto inicial en el eje x, hasta la curva f(x) (dondequiera que esté esta curva, arriba o abajo del eje x).
3. De punto de cruce en la curva f(x) se traza una línea horizontal hasta y = x (dondequiera que esté, ya sea a la derecha o a la izquierda de f(x).
4. Se traza una vertical desde el punto donde se tocó a y = x hasta donde esté f(x)
5. Se repiten los pasos 3 y cuatro cuantas veces sea necesario.

La gráfica de la telaraña es muy útil para ver el comportamiento de las órbitas en un mapa. Para el mapa f(x) = 2x es obvio que todo valor inicial positivo genera una órbita que escapa al infinito (divergente).

Un detalle importante que podemos observar es que para la familia de mapas f(x) = ax, si a > 1 entonces pasa lo mismo que arriba: las órbitas divergen al infinito para valores iniciales positivos. Si tenemos valores negativos, las órbitas escapan al –. ¿Y si iniciamos con 0 ?, el 0 es un punto fijo de estos mapas (f(0) = 0), por lo que no se mueven. Pero tiene que ser exactamente 0 para que la órbita no escape, pues por pequeña que sea la diferencia de 0, entonces el valor crecerá y escapará.

Algo diferente pasa cuando a < 1 en f(x) = ax . Por ejemplo si a = 0.8 (ver Gráfica 5). Al iterar desde un punto inicial positivo, observamos que las órbitas tienden hacia el cero (que es todavía un punto fijo). Todas convergen al cero. Incluyendo las negativas (el lector puede verificarlo con la gráfica de la telaraña, trazando las coordenadas negativas).

El cero es un punto fijo para cualquiera de los dos casos ( a < 1 y a > 1). Pero su comportamiento es distinto en ambos casos. En el caso de a > 1, todas la órbitas se alejan del cero, como si las repeliera. Por eso se le denomina al cero, en este caso, fuente o repulsor.

Si a < 1, todas las órbitas son atraídas al cero. Aquí se le denomina sumidero o atractor.
¿Y qué pasa si a = 1 exactamente? En este caso f(x) = x, lo que equivale a decir y = x, por lo que ambas gráficas se empalman. Cualquier punto en este mapa es un punto fijo. Y el cero ya no atrae ni repele órbitas, es indiferente.

El mapa de la telaraña nos servirá para estudiar el mapa logístico. Y también veremos que hay en este mapa atractores y repulsores (¿cuál era el atractor para f(x) = 2x( 1 – x )?).


BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993

3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992