การแปลงค่าพิกัดในระบบพิกัดฉากสองมิติที่พบในงานแผนที่

การแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปร (2D Conformal/Similarity Transformation)

การแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปรเป็นการแปลงค่าพิกัดแบบหนึ่งที่สามารถนำมาใช้ได้ในหลายๆงาน เช่น การขึงภาพออร์โธเข้ากับแผนที่ ตัวแปรสี่ตัวในการแปลงค่าพิกัดแบบนี้ ได้แก่ การย่อ-ขยายหนึ่งตัวแปร การหมุนหนึ่งตัวแปร และ การเลื่อนอีกสองตัวแปร ภาพต่อไปแสดงระบบพิกัดฉากสองมิติสองระบบที่มีความสัมพันธ์กันตามตัวแปรที่ได้กล่าวไป

จากความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตของการแปลง สมการการแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปรสามารถประกอบขึ้นได้จากสมการของความสัมพันธ์ย่อยที่ได้อธิบายไปแล้ว

ในทางปฏิบัติของการแปลงค่าพิกัด เรามักสนใจเพียงสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในการแปลงค่าพิกัดเท่านั้น โดยไม่สนใจถึงค่าชองมุม มาตราส่วน หรือ การเลื่อนของการแปลง ดังนั้นจึงมักพบสมการชองการแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปรในรูปของสมการเชิงเส้นต่อไปนี้

โดยตัวแปร a b c และ d มีที่มาจากสมการที่แสดงความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตระหว่างระบบพิกัดนั่นเอง

การแปลงค่าพิกัดแบบหกตัวแปร (2D Affine Transformation)

การแปลงค่าพิกัดแบบหกตัวแปรเป็นการแปลงอีกแบบหนึ่งที่ใช้กันมาก อาจจะมากกว่าการแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปร งานที่มักใช้การแปลงค่าพิกัดแบบนี้ เช่น การแปลงค่าพิกัดของรูปถ่ายทางอากาศ จากพิกัดของภาพให้เป็นค่าพิกัดของกล้อง เพื่อใช้ในการปรับแก้ภาพในงานโฟโตแกรมเมตรี ตัวแปรในการแปลงแบบนี้ประกอบด้วย การย่อ-ขยายสองตัวแปร การเอียงของแกนหนึ่งตัวแปร การหมุนหนึ่งตัวแปร และ การเลื่อนอีกสองตัวแปร ตัวแปรที่เพิ่มขึ้นมาจากการแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปร ก็คือ การย่อ-ขยายที่เพิ่มจากมาตราส่วนเดียวเป็นสองมาตราส่วน ในการแปลงค่าพิกัดของรูปถ่ายทางอากาศที่ยกตัวอย่างไป ตัวแปรของการย่อ-ขยายที่เพิ่มมานี้ก็เพื่อแทนการยีดหดของฟิล์ม ส่วนการเอียงของแกนนั้นก็เพื่อแทนการเอียงของแกนในเครื่องวัดค่าพิกัดหรือเครื่องกวาดภาพ ภาพต่อไปแสดงระบบพิกัดสองระบบที่มีความสัมพันธ์แบบหกตัวแปร

สมการที่ใช้ในการแปลงค่าพิกัดแบบหกตัวแปร สามารถเขียนขึ้นได้จากความสัมพันธ์ย่อยที่ได้อธิบายไป

เช่นเดียวกับการแปลงค่าพิกัดแบบสี่ตัวแปร การแปลงค่าพิกัดแบบหกตัวแปรสามารถเขียนได้ในรูปของสมการเชิงเส้นดังนี้

การแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉากสองมิติ ไม่ได้มีเพียงแค่สองแบบนี้เท่านั้น ยังมีการแปลงค่าพิกัดแบบอื่นๆ เช่น การแปลงค่าพิกัดแบบแปดตัวแปรที่ใช้สำหรับการแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดสองมิติที่อยู่คนละระนาบ และ การแปลงค่าพิกัดที่ไม่ได้ใช้สมการเชิงเส้น (non-linear 2D transformation) ที่ใช้กันมากในการแปลงค่าพิกัดของภาพดาวเทียมเป็นพิกัดแผนที่ ถึงจะไม่อธิบายถึงการแปลงค่าพิกัดแบบนี้ แต่ขอแสดงสมการที่ใช้ในการแปลงค่าพิกัดสองแบบนี้ไว้ดังนี้

การแปลงค่าพิกัดแบบแปดตัวแปร (Projective transformation)

การแปลงค่าพิกัดด้วยสมการโพลีโนเมียล

สมการที่ใช้เป็นสมการโพลีโนเมียลที่มีลำดับและจำนวนตัวแปรต่างกันไป เช่น สมการโพลีโนเมียลที่ใช้12 ตัวแปรก็จะสามารถเขียนได้ดังนี้

เอกสารอ้างอิง

Mikhail, E.M., Bethel, J.S., McGlone, J.C., 2001, Appendix A: Mathematics for Photogrammetry in Introduction to Modern Photogrammetry,  John Wiley & Sons, Inc.