การแปลงค่าพิกัด

อย่างที่ได้กล่าวไปแล้วว่าระบบพิกัดที่ใช้ในงานแผนที่มีความหลากหลาย ระบบพิกัดแต่ละแบบที่ได้กล่าวถูกเลือกใช้ให้เหมาะกับงานแผนที่ในขั้นตอนต่างๆ การถ่ายทอดข้อมูลจากขั้นตอนหนึ่งไปอีกขั้นตอนหนึ่งที่ใช้ระบบพิกัดคนละระบบจึงต้องผ่านขั้นตอนที่สามารถถ่ายทอดค่าพิกัดของข้อมูลจากระบบหนึ่งไปสู่อีกระบบหนึ่งได้ ขั้นตอนที่ว่านี้เรียกได้ว่าเป็นการแปลงค่าพิกัด

การแปลงค่าพิกัดในระบบพิกัดสองมิติ

ระบบพิกัดที่ใช้ในงานแผนที่มีทั้งระบบพิกัดสองมิติและสามมิติ หลักการที่ใช้ในการแปลงค่าพิกัดทั้งสองระบบนั้นแทบจะไม่ต่างกัน เพื่อความง่ายในการอธิบายและการทำความเข้าใจ การแปลงค่าพิกัดที่จะอธิบายต่อไปจะเริ่มจากการแปลงค่าพิกัดในระบบพิกัดสองมิติก่อน หลักการเดียวกันสามารถใช้ได้กับระบบพิกัดสามมิติ โดยปรับให้เข้ากับมิติที่เพิ่มขึ้น

การแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉากกับระบบพิกัดขั้ว

ภาพด้านล่างแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดขั้ว

ในการสำรวจภาคพื้นดินด้วยกล้องสำรวจ ค่าระยะและมุมที่จดจากเครื่องมือที่ใช้สำรวจสามารถใช้หาระยะห่างระหว่างจุดในแนวตะวันออก-ตะวันตก และ แนวเหนือ-ใต้ได้ โดยใช้สูตรในการแปลงค่าพิก้ดจากระบบพิกัดขั้วไปเป็นระบบพิกัดฉาก 

ส่วนการแปลงค่าพิกัดจากระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบพิกัดขั้ว สามารถใช้ในการเดินทางในกรณีที่ต้องการหาระยะและทิศทางระหว่างจุดสองจุดที่ทราบค่าพิกัดในระบบพิกัดฉาก เช่น ระบบพิกัด UTM

ข้อสังเกตสองอย่างในการแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉากและระบบพิกัดขั้ว คือ

1) ในการเดินทาง มุมที่ใช้มักเป็นมุมที่วัดจากทิศเหนือที่เรียกว่าอาซิมุท ดังนั้นการใช้สูตรที่มีค่ามุมจะต้องสลับ ระหว่าง X1 และ X2

2) ในการแปลงค่าพิกัดจากระบบพิกัดฉากไปเป็นระบบพิกัดขั้ว การคำนวณมุมต้องคำนึงถึงควอดแดรนท์ของค่าพิกัดฉากด้วย

การแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉาก

การแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉากมีความสำคัญมากในงานด้านแผนที่ เนื่องจากเป็นการแปลงค่าพิกัดที่พบในหลายขั้นตอน เช่น การขึงภาพ และ การแปลงค่าพิกัดระหว่างแผนที่สองระบบ เป็นต้น ดังนั้นจึงเป็นสิ่งที่เราควรทำความเข้าให้เป็นอย่างดี เพื่อที่จะสามารถนำไปใช้ได้อย่างถูกต้อง

การแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดฉากสองมิติ สามารถแยกย่อยได้ตามลักษณะของความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดที่ต้องการแปลง ในการแปลงพิกัดจริงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดมักเป็นการแปลงค่าพิกัดที่รวมลักษณะย่อยต่างๆนี้เข้าด้วยกัน ซึ่งจะได้อธิบายหลังจากที่ได้อธิบายถึงลักษณะของความสัมพันธ์ย่อยแบบต่างๆแล้ว

การเลื่อน (Translation)

ภาพต่อไปแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากสองระบบที่เกิดจากการเลื่อน

จากภาพเราสามารถแทนความสัมพันธ์นั้นด้วยสมการต่อไปนี้

หากเขียนในรูปของเมตริกซ์ก็จะเขียนได้เป็น

หรืออาจเขียนในรูปย่อได้เป็น

(X1,X2) เป็นพิกัดของจุดในระบบพิกัดเริ่มต้น (Y1,Y2) เป็นพิกัดของจุดในระบบพิกัดที่ต้องการแปลงไปหา และ (t1,t2) เป็นค่าของการเลื่อนในแต่ละแกน ถ้าสังเกตดูจะเห็นว่า (t1,t2) มีค่าเท่ากับพิกัดของจุดกำเนิดของระบบพิกัด X ในระบบพิกัด Y หรืออาจกล่าวได้ว่าเป็นพิกัดของจุดกำเนิดของพิกัดที่มีอยู่ในระบบพิกัดที่ต้องการแปลงไป

การหมุน (Rotation)

ภาพต่อไปแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากสองระบบที่เกิดจากการหมุน

 สมการที่ใช้ในการแปลงค่าพิกัดระหว่างระบบพิกัดที่เกิดจากการหมุนคือ

โดย a เป็นมุมระหว่างระบบพิกัดทั้งสอง หากหมุนทวนเข็มก็ให้ค่ามุมเป็นบวก ตามเข็มก็ให้ค่ามุมเป็นลบ หากเขียนในรูปของเมตริกซ์ก็จะเขียนได้เป็น

หรืออาจเขียนในรูปย่อได้เป็น

เมตริกซ์ R เรียกได้ว่าเป็นเมตริกซ์ของการหมุน (Rotation matrix)

การย่อ-ขยาย (Scaling)

การย่อ-ขยายสามารถแบ่งได้เป็นสองแบบ คือ มาตราส่วนเดียว (uniform scale) และ สองมาตราส่วน (non-uniform scale) การย่อ-ขยายแบบมาตราส่วนเดึยวก็คือการย่อ-ขยายที่มาตราส่วนเท่ากันทั้งสองแกน ส่วนการย่อ-ขยายแบบสองมาตราส่วนนั้นมาตราส่วนในการย่อ-ขยายจะไม่เท่ากันในแต่ละแกน ภาพต่อไปแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากสองระบบที่เกิดจากการย่อ-ขยายแบบมาตราส่วนเดึยว

สมการสำหรับการย่อ-ขยายมาตราส่วนเดียว คือ 

ในกรณีของภาพที่อธิบายการย่อ-ขยาย u เท่ากับ 2

ภาพต่อไปแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากสองระบบที่เกิดจากการย่อ-ขยายแบบสองมาตราส่วน

 สมการสำหรับการย่อ-ขยายสองมาตราส่วน คือ 

ในกรณีของภาพที่อธิบายการย่อ-ขยาย u1=3 และ u2 = 2

สมการของการย่อ-ขยายสามารถเชียนในรูปของเมตริกซ์เป็น

หรือ

ในกรณีของมาตราส่วนเดียว u1 จะเท่ากับ u2

การเอียงของแกน (Skew)

ภาพต่อไปแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดที่มีการเอียงของแกน

การเอียงของแกนสามารถแสดงในรูปของสมการต่อไปนี้

หรือ

หรือ

ในทางปฏิบัติแล้วมุมเอียงของแกนจะมีขนาดเล็กมาก ซึ่งทำให้สามารถเขียนเมตริกซ์ K ได้เป็น

โดยที่ k เป็นค่ามุมเอียงของแกน หน่วยเป็นเรเดียน

การสะท้อน (Reflection)

การสะท้อนสามารถแบ่งได้เป็นการสะท้อนในแนวตั้งและแนวนอน

การสะท้อนในแนวตั้ง	การสะท้อนในแนวนอน

จากลักษณะของความสัมพันธ์ที่ได้แบ่งย่อยลงไปนั้น เราสามารถสร้างความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดฉากสองระบบที่มีความสัมพันธ์มากกว่าหนึ่งอย่างขึ้นมาได้หลายแบบ ตามแต่ความเหมาะสมของงานที่ต้องการการแปลงค่าพิกัดซึ่งจะได้พูดถึงต่อไป

เอกสารอ้างอิง

Mikhail, E.M., Bethel, J.S., McGlone, J.C., 2001, Appendix A: Mathematics for Photogrammetry in Introduction to Modern Photogrammetry,  John Wiley & Sons, Inc.