GEOMETRÍA DE LA
RELATIVIDAD RESTRINGIDA
En las
fórmulas de la relatividad especial o
restringida aparecen con frecuencia las
expresiones:
Recordando
la trigonometría, se puede intentar identificar ambas expresiones, con
funciones trigonométricas, bastando para ello hacer:
v/c
= sen w con
lo cual (1- v2/c2)
1/2 = cos w
En
relatividad debe ser v £ c de modo que v/c varia entre 0 y 1 igual que
sen a.
Con ello los coeficientes del tensor de
transformación
a
y b se transforman en:
a = 1/cos w y b = - a v/c =
- sen w / cos w = - tg w
El
tensor de transformación queda del modo
siguiente:
y
sacando factor común 1/cos w y pasándolo
al otro lado del signo igual quedará:
Forma
del tensor que proyecta las coordenadas del sistema inercial sobre un eje que
forma con ellas el ángulo w.
Se volverá más adelante sobre este tema. En esta forma el tensor tiene una
estética interesante.
Desarrollando
queda:
x"
cos w = x' -
ct' sen w y"
= y' z" = z' ct" cos w=
ct' - x' sen w
Las
expresiones de la contracción longitudinal y dilatación del tiempo, quedan:
l
= l0 cos w y t 0 = t cos w
que también son las proyecciones sobre un eje en ángulo w.
En
la determinación de la composición de velocidades y en los casos en que
intervienen
diferenciales, se simplifican los cálculos. La composición de velocidades en
caso de v paralela al eje x (v'y =0 v' z =0) sería
derivando respecto a t”:
De la última fila haciendo u’=dx’/dt’ y u”=dx”/dt”:
c
cos w = (- u' sen
w +c) dt'/dt" y dividiendo por c y
despejando
dt'/dt"
= cosw /(1- u'/c.senw)
pero u'/c también puede
expresarse en función de un seno. Sea
u'/c = sen a (esta a
no es la constante del tensor). Por
tanto:
dt'/dt"
= cos w/(1-sen a.sen
w).
Pasando el denominador al otro miembro y suprimiendo cos w
en ambos, queda:
haciendo u"/c =
sen b
y dividiendo por c en ambos miembros quedará:
Desarrollando queda:
sen
b
= (sen a - sen w)
/ (1 - sen w.sen a) (1) o
bien
sen
a
= (sen w + sen b) / (1 + sen
w.sen
b
) (2) o bien
sen
w.sen
b
sen a =sen w + sen b
- sen a Sustituyendo
por los valores de las velocidades en la 2 queda.:
(Ver apéndice 1 para la composición gráfica de velocidades y apéndice 2 para relacionar con lo que sigue:)
Apendice2
En
las fórmulas del efecto Doppler haciendo sen e
= ± vE /c queda:
fR
=f E cos e / (1 ± sen e
)
Veamos
como se simplifica el cálculo en el tema de la cantidad de movimiento a partir
de la expresión u = 2u0 /(1+ u02 /c2
) haciendo u = c sen a u0 = c sen a0
sen
a
= 2 sen a0 /(1 + sen2a0
) de donde sen2a0
. sen a - 2 sen a0 + sen a=0
y sen a0 = (1±cos
a
) / sen a (3) El signo + daría un valor de sen a0 mayor que 1, por tanto sólo debe
considerarse el signo menos.
De la
condición m(u).u = M(u0). u0 se tiene:
m(u).
c.sen a = M(u0). c.sen a0 y m(u)
+ m0 = M(u0)
Eliminando M(u0)
queda: m(u). sen a
= sen a0 (m(u) + m0
) y
sen a0 = m(u). sen
a/(m(u)
+ m0 ) y
sustituyendo
el valor de sen a0 de (3)
quedará:
(1-cos
a
) / sen a= m(u).
sen a/(m(u) + m0 ) y (m(u) + m0 )(1-cos a
) =m(u) sen2a
Desarrollando:
m(u) + m0 -cos a m(u) -m0
cos a =m(u) (1-cos2a ) y
m0
(1-cos a ) =m(u) cos a
(1-cos a) y por tanto
0
Para el
cálculo de la energía se tiene siendo u= c sen a y
p= m [ u]
y por tanto:
E = E 0 + Ec = m c2 con
E 0 = m0 c2
Del
triángulo de energías en el que E2 = (m0
c2
)2 + (p c)2 se tiene que E0=Ecos
a
De
nuevo nos encontramos con que hay una proyección sobre un eje en un ángulo a, ya que
E = mc2 y E
0 = m0 c2 y m/m0 =cos a.
Es
decir: hay proyección en los siguientes casos: longitud, masa, tiempo y
energía.
(Fin
de relación con apéndice)
Volviendo
al principio con v = c sen a y teniendo
en cuenta que sen2a +cos2a=
1
v2 /
c2 +cos2a=
1 y por tanto v2 + c2 cos2a=
c2
Siendo cos a
una función que también varía entre 0 y 1, parece posible identificarlo con una
velocidad en la forma de u/c = cos a con lo cual llegamos a la expresión
v2
+ u2 = c2
Se
tiene un triángulo rectángulo de catetos v y u e hipotenusa c, siendo u la proyección de c sobre un eje
con el ángulo a. ¿Pero qué representa la velocidad u?
Si
se pone la expresión anterior en forma diferencial se tendría:
v=dx/dt
u = dw/dt (dx)2
+ (dw)2 = c2
(dt)2 o bien (dw)2 = c2
(dt)2 - (dx)2 pero dw resulta ser el
invariante "intervalo de universo"
Veamos
el triángulo de velocidades:
Considerando
únicamente dos coordenadas: espacio y
tiempo, si v es la velocidad, que tiene lugar en el espacio, se puede suponer
que u es una velocidad en el tiempo,
¿Puede el tiempo considerarse perpendicular al espacio? Podría suponerse el tiempo como algo
fluyendo desde cada punto del espacio en forma de esfera, con lo cual sería
siempre perpendicular a cualquier sistema de tres ejes que se considere en el
espacio.
Entonces,
si el eje v es eje de espacio y el u el
de tiempos, se puede considerar a u como una velocidad respecto al tiempo. En
efecto, si v=0, u=c, el observador fijo
ve pasar el tiempo a la velocidad c. Pero si v=c entonces u=0, es decir el
sistema inercial se mueve a la velocidad c respecto a nuestro espacio pero la
velocidad respecto a nuestro tiempo es
nula: se mueve con el tiempo nuestro y por ello a la velocidad de la luz no
transcurre el tiempo para el observador fijo. Es lo que resulta de t 0
= t cos a, pues
cos a =0.
Ello
equivale a que el observador fijo contemple el sistema inercial con los ejes de
espacio y tiempo girados un ángulo a. tal como
se representa en la figura inferior. Si el sistema inercial tiene velocidad c,
sus eje de espacio coincide con nuestro eje de tiempo al estar girado 90º.
En
la figura los ejes de espacio son e y e' y los de tiempo t y t', el triángulo
rectángulo de velocidades OAB (OA = v;
AB =c; OB = u) y OL es una longitud inicial en el eje e que después de girar el
ángulo a es vista por el observador fijo como OL'= OL
cos a.
En
el eje de tiempos OT= t0 ;= m0 ;= E0 , es la
proyección de M, E y t iguales a OT' en el eje de tiempos del sistema inercial,
girado el ángulo a.
Siendo
OA = v y AB = c , sen a = OA/AB,
OBA = AOL' = BOD = a resulta DO = DB = DA = c/2
Veamos
como con ello puede trazarse gráficamente el cambio de coordenadas de x' a
x'' y de t' a t''.
El
tensor para dos coordenadas se convierte en:
x"
cos a = x' -ct' sen a y ct''cos
a
=ct' -x' sen a
En
la figura inferior en el sistema de referencia e'-t' OA =vt'. El sistema
inercial e''- t'' se
ha desplazado OA y girado el ángulo a
=A'OA definido por sen a =
v/c La coordenada x'' =AB al girar pasa a AB' . En sistema de Galileo, se tenía que
x' = vt' + x''. Ahora x' =x'' cosa + ct' sen a
= x''cosa +vt'. En el triángulo A'B'F', se tiene A'F'
=x'' cosa y como OA' =vt' se tiene que x' =OA' + A'F' =OF trazando una paralela de F' a AA'
. Trazando una perpendicular de F a OD, se tiene OC= x'sena.
Siendo
ct'' = (ct' --x'sena)/cos a y
ct' = OD, CD =OD-OC =ct' - x'sena
y
CD
/cos a = CH . Se puede observar gráficamente la
contracción de la longitud OF<OB y
la dilatación del tiempo CD < DH.
Si
se expresan las longitudes en tiempo-luz, todavía se simplifican más las
expresiones. Sea:
x'
= c tx', x'' =c tx'' la
fóormula de transformación queda:
y
dividiendo ambos miembros por quedará c
:
y desarrollando:
tx''cos a
= tx' - t' sen a t'' cos a= t' - tx'sen
a
También
se simplifica la construcción gráfica:
En
este caso OA =vt' =t'c sena y en tiempo-luz OA = t' sen a
y tx' =tx''cos a
+ t' sen a = OA + A'F'
= OF OD = OA/sen a=t'
OC=OF
sen a DC = t'
- tx'sen a HD
=DC/cos a = t''