APENDICE

Cantidad de movimiento

La ecuación fundamental de la dinámica clásica se puede escribir de dos formas:

estas dos formas son equivalentes en la dinámica clásica ya que la masa inerte (la inercia a modificar el movimiento) está considerada allí como un valor escalar constante.

Veremos como, al llegar a las ecuaciones de transformación de Lorentz en la relatividad especial o restringida, no puede considerarse constante la masa sin renunciar al principio de conservación de la cantidad de movimiento.

 

Con ello resulta que debemos optar por una de las dos ecuaciones indicadas al inicio de este apartado. Debido a la mayor simplicidad a que se llega al optar por la segunda ecuación y a la similitud de dichas ecuaciones con las correspondientes al movimiento de rotación:

en las que el valor del momento de Inercia I no es, en general, constante, y donde la expresión correcta es la segunda, se toma como expresión correcta la segunda ecuación.

Veamos como la cantidad de movimiento m·[v] en el sentido de la dinámica clásica (con m constante) no es compatible con el principio de conservación de la cantidad de movimiento en las ecuaciones de transformación de Lorentz.

Sean dos partículas A y B de idéntica masa e idéntica velocidad u₀ (pero de sentido contrario) situadas sobre una recta sobre la que se mueven, de tal manera que sufrirán un choque central inelástico. Después del choque quedarán empotradas en una única particula.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Consideremos un sistema inercial  S” tal que después del choque viaje junto con la partícula única resultante. En dicho sistema las velocidades de las partículas que colisionan serán u₀ y –u₀ y la partícula resultante poseerá velocidad nula.

Consideremos también otro sistema inercial S’ en el que la partícula B esté en reposo antes del choque de ambas. Dichos sistemas inerciales se desplazarán entre sí con una velocidad v = u₀.

Veamos si se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento en los sistemas S’ y S”, es decir si las cantidades de movimiento antes y después de choque son o no iguales en ambos sistemas.

 

En primer lugar consideremos el valor de la velocidad u en función de u₀, teniendo en cuenta las ecuaciones de transformación de Lorentz:

Veamos ahora si se cumple la invarianza de la cantidad de movimiento [p] en cada uno de los sistema S’ y S”

Sistema S”          p_xi = m₀u₀ - m₀u₀ = 0 = 2m₀*0 = p_xf                                       si cumple

Sistema S’          p_xi = m₀u-m₀*0 = m₀*2u₀/(1 + u₀²/c²) ¹ 2m₀*u₀ = p_xf             no cumple

Si consideramos que la masa inerte de los cuerpos es un valor constante no se cumple que la cantidad de movimiento total (en ausencia de fuerzas exteriores al sistema) sea un invariante para todos los sistemas inerciales.

De cara a conseguir que lo sea, consideraremos la masa como una función de la velocidad de la partícula e impondremos las condiciones de conservación de la masa y de la cantidad de movimiento total del sistema para hallar dicha función.

Dado que el sistema S” cumplirá en cualquier caso, por su simetría, nos situamos en el sistema S’ y planteamos las condiciones de conservación de la cantidad de movimiento y de conservación de la masa para hallar el valor m(u) de la masa, en función de la velocidad, que satisfaga dichos requisitos:

p_xi = p_xf                    Þ        m(u)·u = M(u₀)·u₀ 

masa_i = masa_f               Þ        m(u) + m₀ = M(u₀)

eliminando M(u₀) queda:

m(u)·u = m(u)·u₀ + m₀·u₀          Þ        m(u)/m₀ = u₀/(u – u₀) = (u₀/c)/(u/c – u₀/c)

despejaremos u₀ (mejor u₀/c) de la ecuación:

                   u =2u₀/(1+ u₀²/c²)                          Þ   u₀²/c² – 2·c/u·u₀/c + 1 = 0   Þ   u₀/c = c/u – (c²/u² – 1)^1/2  Þ         c/u·(1 – (1 – u²/c²)^1/2

y lo sustituiremos en la anterior expresión (el signo más no sirve ya que implicaría u₀ > c):

m(u)/m₀ = u₀/c/(u/c – u₀/c) = [c/u·(1 – (1 – u²/c²)^1/2)]/[u/c – c/u·(1 – (1 – u²/c²)^1/2)] =

= [1 – (1 – u²/c²)^1/2]/[u²/c² – 1 + (1 – u²/c²)^1/2] = [1 – (1 – u²/c²)^1/2]/[(1 – u²/c²)^1/2·[1 – (1 – u²/c²)^1/2]] =

                                                  = 1/(1 – u²/c²)^1/2

lo que nos define la función m(u):

                        m(u) = m₀/(1 – u²/c²)^1/2 = am₀ = m

la designaremos simplemente por masa o masa relativista representándola con m, reservando m₀ para la masa en reposo.

Veamos la conservación de la masa en el sistema S”:

M₀ = m(u₀) + m(-u₀) = 2·m(u₀) = 2m₀/(1-u₀²/c²)^1/2 ¹ 2m₀

y en el sistema S’:

M₀ = M(u₀)·(1-u₀²/c²)^1/2 = (m(u) + m₀)·(1-u₀²/c²)^1/2 = (m₀/(1-u²/c²)^1/2 +m₀)· (1-u₀²/c²)^1/2

y teniendo en cuenta que:

(1-u²/c²)^1/2 = (1-(4u₀²/c²)/(1+u₀²/c²)²)^1/2 = (1-u₀²/c²)/(1+u₀²/c²)

tendremos:

M₀ = m₀·((1+u₀²/c²)/(1-u₀²/c²)+1)· (1-u₀²/c²)^1/2  = m₀·(2/(1-u₀²/c²))· (1-u₀²/c²)^1/2 = 2m₀/(1-u₀²/c²)^1/2 ¹ 2m₀

Energía

En el apartado anterior hemos visto que la dinámica relativista toma como ecuación que relaciona la fuerza y la cantidad de movimiento:

[F] = d[p]/dt = d(m[u])/dt

Llamamos energía cinética al trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula para llevarla del estado de reposo hasta dotarla de una cierta velocidad. En el caso de la dinámica relativista tendremos:

v:shapes="_x0000_i1035">

siendo:

con lo que:

El primer término del segundo miembro es función de la velocidad de la partícula y recibe el nombre de “energía total” (E), el segundo término del segundo miembro es constante y recibe el nombre de “energía en reposo” (E₀) y el primer miembro (también función de la velocidad) recibe el nombre de “energía cinética” (E_c).

Para valores de u<<c, si desarrollamos en serie y despreciamos los términos de orden superior a u²/c² queda:

 

quedando la fórmula de la energía cinética de la dinámica clásica.

La energía total será pues:

_{v:shapes="_x0000_i1032">}

y la energía cinética:

                     v:shapes="_x0000_i1033">

 

Multiplicando por c² los dos miembros de la expresión de la cantidad de movimiento:

 

 

 

valor que sustituido en la expresión de la energía total:

Efecto Doppler

Siendo N = f_E*Dt_E  el número de ondas emitidos en el tiempo Dt_E, y situándonos en el sistema de referencia del receptor tendremos:

                     l_R = (c-v_E)*Dt_R /N = (c-v_E) *Dt_R / (f_E*Dt_E) = c/f_R

de donde, teniendo en cuenta que Dt_E es el tiempo propio del emisor y Dt_R el tiempo observado por el receptor:

                        f_R = (Dt_E/Dt_R)*f_E*c/(c-v_E) = (1/a)*f_E*c/(c-v_E)

con lo que:

                  

 

para el caso en que se acercan el emisor y el receptor.

            En el caso en que se alejen basta cambiar de signo v_E, con lo que tendremos: