In Costruzione
Premessa
In questa pagina cerco di rispondere alla domanda: dove conviene mirare nel gioco delle freccette per massimizzare il punteggio? Intuitivamente, la risposta potrebbe essere: se uno è bravo, al 60 triplo, mentre se non ha mai giocato gli conviene mirare al centro così ha più probabilità di colpire il bersaglio.
Ma questa é l'unica risposta oppure esistono altre zone "interessanti" alle quali mirare se si é ad un livello intermedio?
La risposta qui proposta necessita, per la sua comprensione, di un minimo di conoscenza di teoria della probabilità e di programmazione in Matlab.
Nel caso non si disponga di queste competenze, si puó saltare a pié pari la soluzione del problema passando subito ai risultati.
Analisi del problema
Nel gioco delle freccette si assegnano i punti a seconda della posizione assunta dalla freccetta quando colpisce il bersaglio.
Questo è costituito da un tabellone di forma circolare diviso in settori (segmenti), contrassegnati con i numeri da uno a venti. I settori sono intersecati da due anelli, dei quali il più esterno è detto, per ovvi motivi, anello dei doppi mentre l'altro è l'anello dei tripli. Infine nel centro del bersaglio si trovano il centro (appunto) che vale 50 punti, circondato dall'anello centrale che vale 25 punti.
Riguardo al lancio della freccetta, è plausibile pensare che si colpiscano con maggiore probabilità le zone vicine al punto verso il quale si mira che non quelle lontane. In particolare il tiro sarà tanto più preciso quanto sarà bravo chi lancia la freccetta.
È possibile dare una veste matematica alle considerazioni appena fatte introducendo le densità di probabilità gaussiane, rappresentate mediante curve a campana.
Queste sono utilizzate per modellare misure che dipendono da molti fattori indipendenti. Per esempio le altezze degli individui adulti in una popolazione, la luminosità di un lotto di lampadine, la quantità di pioggia che cade in una certa stagione su un territorio, assumono tutte valori che sono di solito vicini alla loro media e ma qualche volta se ne allontanano (nell'ultimo caso in concomitanza di siccità o nubifragi).
Le curve a campana sono identificate da due parametri: il primo è la media, ovvero il valore intorno al quale si raccolgono tutti gli altri e che in figura vale zero per entrambe le curve. Il secondo parametro che serve per identificare una distribuzione di questo tipo è la deviazione standard (sigma) che tiene conto della variabilità delle misure raccolte. Sigma indica la larghezza della curva: un piccolo sigma rappresenta una curva stretta e alta, mentre uno maggiore ne indica una più larga e bassa.
Nel caso in esame possiamo associare alla perizia di un giocatore il valore di sigma, nel senso che quello bravo colpirà di solito il bersaglio vicino a dove aveva mirato, metre quello meno bravo tenderà con maggiore probabilità a colpire lontano (e quindi la deviazione standard dei suoi lanci sarà maggiore che nel primo caso).
Visto che la posizione del punto colpito spazia sulla superficie (bidimensionale) del bersaglio anche le curve saranno bidimensionali, ma con significato del tutto simile a quello visto prima. In due dimensioni la curva gaussiana assume la forma di "montagnola" le cui misure dipendono sempre dalla deviazione standard.
Per trovare il punto dove conviene mirare per massimizzare il punteggio del lancio è necessario combinare i dati sul bersaglio ed il modello del lancio in modo da ottenere il punto migliore dove mirare per ogni valore di sigma.
Per far questo tiriamo in gioco il teorema fondamentale dell'aspettazione [1] il quale ci dice che l'aspettazione, ovvero il valore medio atteso dell'esito su un gran numero di misure, che si ottiene mirando nel punto P sul bersaglio (il cui punteggio è definito dalla mappa M(p)) può essere calcolato come l'integrale:
dove G(p-P) definisce la curva gaussiana di dev. standard sigma centrata nel punto P.
La mappa M(p) è una funzione che esprime il punteggio ottenuto colpendo il punto p. È una funzione continua a tratti abbastanza complicata e per questo non conviene cercare una soluzione analitica dell'integrale visto ma, data la potenza computazionale a disposizione, discretizzare il problema e cercare una soluzione numerica.
Per ottenere i valori esatti da assegnare ad M(p) abbiamo bisogno della descrizione geometrica completa del bersaglio (ovvero di tutte le sue misure) che possono essere recuperate, insieme al regolamento italiano del gioco delle freccette, sul sito del Dart Club Treviso.
L'ultimo passo da compiere è quello di calcolare i valori di E(p) per ogni punto e per ogni valore di sigma cercando poi, per ogni sigma, il punto che per il quale E(p) è maggiore. Tale punto sarà quello che mi conviene cercare di colpire se i miei lanci sono effettivamente ben modellati dalla gaussiana di varianza sigma, mentre E(p) sarà il mio punteggio atteso, cioè quello medio su un gran numero di lanci.
Algoritmo Matlab
Partendo dalle misure del bersaglio ho creato una funzione Matlab darttable.m che restituisce il punteggio date le coordinate polari del punto p. Nella figura seguente, ottenuta spremendo al massimo il motore 3D di Matlab, è mostrata una rappresentazione di M(p).
Confrontando il grafico (che ricorda una cittadella fortificata) con il bersaglio si possono notare gli anelli dei doppi (più esterno) e dei tripli (in alto, sulla destra, il "merlo" più elevato è il 20 triplo). Si possono inoltre notare al centro gli anelli del 50 e del 25.
Da questa funzione, nel file darts.m si calcola l'aspettazione E(p) per un insieme significativo di valori di sigma. Questa viene ottenuta convolvendo M(p) (quantizzata con passo uguale ad 1 mm, mentre il diametro esterno del bersaglio è pari a 340mm) con la funzione gaussiana di dev. standad sigma, anch'essa quantizzata. L'effetto che si ottiene convolvendo una funzione con un nucleo gaussiano è quello di "spalmare" la stessa con un effetto tanto più rilevante quanto maggiore è la deviazione standard della gaussiana. Nelle figura seguente si vedono
