APLICAÇÕES DOS FRACTAIS

Usam-se modelos com estrutura fractal para representar ou descrever muitos processos naturais em vários domínios da ciência, da física à biologia, da geologia à astrofísica. A seguir, mencionamos apenas algumas dessas aplicações, sem entrar em qualquer detalhe sobre os processos físicos envolvidos em cada caso. O leitor interessado em conhecer inúmeros outros campos e domínios nos quais os fractais têm sido utilizados poderá consultar a referência 14.

Na física dos materiais ocorrem muitas das principais aplicações dos fractais. O crescimento de estruturas, sejam elas cristais ou a penetração de um fluido em outro material, assumem, com freqüência, estruturas ramificadas com a propriedade de auto-similaridade. O estudo dos meios porosos, que tem repercussões tecnológicas e econômicas, mostra também a presença de fractais. Um exemplo ocorre nos trabalhos de prospecção de petróleo: a rocha na qual o petróleo reside apresenta estrutura porosa com propriedades fractais. Outra área particular de pesquisa se dá através da difração de ondas por superfícies fractais, o que permite, num processo inverso, que se adquiram informações sobre a estrutura da superfície. A superfície dos materiais é, em geral, bastante irregular e pode ter sua dimensão fractal mensurada; esse conhecimento pode vir a ser útil, por exemplo, no estudo dos fenômenos de corrosão.

Muitos fenômenos geológicos possuem a simetria de escala; exemplos disso são as distribuições de freqüência dos tamanhos de fragmentos de rochas, falhas geológicas, terremotos, erupções vulcânicas e depósitos minerais e de petróleo^[7]. Uma distribuição fractal requer que o número de objetos maiores que um determinado tamanho (magnitude) tenha uma dependência com esse tamanho que corresponde a uma lei de potência. Um exemplo interessante, já percebido em 1954, é a relação de Gutenberg-Richter entre a magnitude e a freqüência dos terremotos, que leva a uma dimensão fractal de 1,8 aproximadamente. Os fractais têm também se mostrado úteis no estudo dos meandros dos rios e dos contornos das formações geológicas (Figura 33). A dimensão fractal é uma medida da rugosidade da paisagem, e a topografia da Terra é resultado de muitas influências em competição; há evidências, por exemplo, de que o processo de erosão é invariante de escala.

FIGURA 33 - Foto de um satélite: Manaus, na confluência dos rios Solimões e Negro

O estudo dos processos de fragmentação tem importância teórica e experimental, além de ter aplicações tecnológicas. A fragmentação envolve o início e a propagação de fraturas, um processo altamente não-linear. Existem muitos aspectos fractais nesses processos, já que, muitas vezes, os fragmentos são produzidos dentro de uma gama grande de tamanhos que não estão associados a nenhum comprimento característico natural. Uma lei empírica, usada com freqüência para analisar a produção de pedaços em um processo de fragmentação, tem a forma de uma lei de potência: N(>m) ~ m^-d, onde N(>m) é o número de fragmentos com massa maior que m. A constante d é equivalente à dimensão fractal.

Em astrofísica e cosmologia, um problema importante é a distribuição de galáxias no Universo. Aliada a ele, uma pergunta interessante tem, desde muitos séculos, intrigado os cientistas: por que o céu à noite é escuro? Se o Universo fosse infinito e constituído de infinitas estrelas, distribuídas homogeneamente, poder-se-ia mostrar (tente descobrir como) que o céu ficaria claro à noite. Esse paradoxo é denominado de Paradoxo de Olbers, embora outras pessoas já o tivessem discutido antes dele. Ao longo dos séculos, várias respostas parciais foram sendo propostas para o paradoxo^[15]. Uma delas supõe que as galáxias estão distribuídas de uma forma fractal; pode-se mostrar que, se a dimensão fractal da distribuição de galáxias for menor que 2, o paradoxo fica resolvido. Existem outras soluções físicas para o paradoxo, mas, é interessante destacar que as últimas medidas da distribuição das galáxias no Universo, que é mais ou menos isotrópica, atribuem um valor aproximado de 1,2 para sua dimensão fractal, pelo menos dentro de domínios menores que 100 milhões de anos-luz (Figura 34).

FIGURA 34 – Distribuição das galáxias

Na análise matemática, o uso de funções com propriedades fractais remonta a Riemann e a Weierstrass que, na segunda metade do século passado, construíram funções sem derivadas. Weierstrass definiu a seguinte função contínua, mas que não possui derivada em nenhum ponto:

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Uma aplicação que desperta interesse militar é o reconhecimento de imagens. Parte-se aqui da idéia de que os objetos artificiais são construídos em geral a partir de formas regulares, enquanto que os objetos e paisagens naturais têm, via de regra, uma estrutura. irregular, mais próxima dos fractais. Com isso, em fotografias aéreas pouco claras, a identificação de domínios fractais poderia discernir entre objetos naturais e objetos artificiais camuflados.

Usos interessantes dos fractais têm ocorrido em áreas tão diversas como a composição musical. Músicas fractais foram compostas, atribuindo-se, por exemplo, notas e ritmos às cores de figuras fractais emanadas de regras não ­lineares simples, como o Conjunto de Mandelbrot. A música usual possui uma estrutura de lei de potência que é, portanto, similar àquela apresentada pelos fractais. Embora até agora nenhuma das composições fractais tenha superado o compositor mais medíocre, elas possuem uma mistura de harmonia (ordem) e variedade (caos), que são qualidades presentes na música. De um ponto de vista mais físico, o da acústica, modos de vibração de um tambor particular, com bordas fractais, foram também estudados recentemente.

O Quadro 2 traz uma relação de várias estruturas observadas na natureza com suas correspondentes dimensões fractais, medidas com aproximações variáveis, dentro do domínio de escalas em que a propriedade de similaridade está presente (em geral, apenas em caráter estatístico). Uma visita a um jardim botânico, uma excursão a uma floresta ou paisagem montanhosa ou ainda um mergulho em mares tropicais nos permitirão discernir muitas estruturas fractais na natureza, desde que estejamos possuídos por uma visão 'fractal' (Figura 35).

QUADRO 2 - Dimensões fractais aproximadas de vários processos naturais

Talvez aqui seja o lugar para fazermos um alerta importante: embora significativo, o cômputo da dimensão fractal ou, melhor dizendo, das dimensões fractais de um conjunto, objeto ou processo dinâmico não carrega em si a informação sobre o mecanismo físico subjacente que gerou aquela estrutura, embora possa trazer indicações naquela direção. Nesse sentido, é bom que se tome cuidado com as 'explicações' superficiais, decorrentes de modismos, presentes às vezes em artigos científicos, livros de divulgação ou em jornais e revistas, de que os fractais seriam a explicação última acerca de qualquer fenômeno 'irregular' da natureza. Os limites dos conceitos e teorias físicas e matemáticas, fontes importantes de analogia para outros domínios da ciência, nem sempre são adequadamente reconhecidos. A utilidade científica dos fractais não deve nos impedir de ver que eles têm sido freqüentemente extrapolados e usados em outros contextos, sem os devidos cuidados críticos e delimitativos, e que esse processo está, muitas vezes, escorado em determinados interesses econômicos e ideológicos.

FIGURA 35 - Embrião de pinto

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