Per giunta, proprio in quegli anni, Vichinghi, Ungari e Saraceni (cio� i musulmani) erano liberi di scorrazzare per tutta l�Europa occidentale seminandovi morte e distruzione. Una lenta ripresa da questo caos ebbe inizio solo dopo l�anno 955, quando Ottone I, imperatore del Sacro Romano Impero (ma, di fatto, allora imperatore della sola Germania) sconfisse definitivamente gli Ungari nella battaglia di Lechfeld (955). L�anno 1000 viene assunto di solito come la data d�inizio della ripresa di civilt� in Europa occidentale. Si pensi al famoso brano di Giosu� Carducci �Dello svolgimento della letteratura nazionale. Discorso primo.� (rif. [3]), che si apre con le poetiche parole: �V�imaginate il levar del sole nel primo giorno dell�anno mille?� e prosegue �E che stupore di gioia e che grido sal� al cielo dalle turbe raccolte in gruppi silenziosi intorno a� manieri feudali, accasciate e singhiozzanti nelle chiese tenebrose e ne� chiostri, sparse con pallidi volti e sommessi mormorii per le piazze e alla campagna, quando il sole, eterna fonte di luce e di vita, si lev� trionfale la mattina dell�anno mille!�. Si noti bene che, dall�anno 1000 in poi, la ripresa dell�Occidente procedette ad un ritmo molto pi� veloce di quanto invece non fosse stata lunga la decandenza che, dopo i Romani, aveva portato l�Occidente a toccare il fondo del Medioevo nel 932. In effetti, la durata della ripresa ha richiesto solo la met� del tempo che invece aveva tenuto occupato la decadenza. Questo fatto storico � rispecchiato molto fedelmente dalla nostra cubica, ma qui non abbiamo il tempo per darne tutta la dimostrazione matematica per filo e per segno. Dopo Copernico, tutti i valori della cubica sono positivi, naturalmente, perch� si era ormai nel giusto, e non pi� nello sbagliato. Nel 1582, Giordano Bruno fu il primo uomo non solo ad accettare la struttura copernicana del sistema solare, ma addirittura a capire che il Sole � una stella come tante, e che altri esseri viventi potrebbero benissimo abitare dei pianeti in orbita intorno ad altre stelle. Questo fu l�autentico inizio storico del SETI. Ma Bruno venne fatto bruciare vivo sul rogo dall�Inquisizione cattolica a Roma, in Campo dei Fiori, il 17 febbraio 1600. Eppure la verit� scientifica non poteva pi� venire nascosta.
E, dopo le figure epocali di Galileo, Keplero e Newton, la Scienza si afferm� definitivamente.
3. Qual�� il vero significato dell�asse verticale della cubica (conoscenza umana)?
Fino ad ora abbiamo accuratamente evitato di parlare dell�asse verticale della cubica e di quale sia il suo significato. La convenzione b) da noi adottata (asse verticale positivo = vero, asse verticale negativo = falso)
non viene affetta dalla discussione precedente, perch� la convenzione riguarda semplicemente il segno dell�asse verticale, ma non i suoi valori numerici. Si pone dunque una naturale domanda: �Che cosa rappresenta l�asse verticale?�. Questa domanda pu� avere risposte diverse a seconda del campo di ricerca che ciascun scienziato voglia investigare, ma, di nuovo, non abbiamo tempo qui per approfondire la questione.
4. Determinazione della cubica soltanto per mezzo di Mt ed Rt
In questa sezione riportiamo, senza darne alcuna dimostrazione matematica (che occuperebbe alcune pagine, e che � gi� stata pubblicata dall�autore nel suo fondamentale lavoro in inglese [4]) le espressioni analitiche dei quattro coefficienti  a3, a2, a1 e a0 della cubica (1) sotto le tre ipotesi seguenti:
1) L�istante (o epoca storica) Mt del punto di massimo delle cubica � noto, cio�  � assegnato.
2) L�istante (o epoca storica) Rt della ripresa � noto, cio� � assegnato.
3) La cubica � normalizzata in unit� della falsit�, vale a dire: l�ordinata di entrambi Mt ed Rt � zero ed inoltre l�ordinata del punto di minimo della cubica �  �1, per ipotesi. Questa normalizzazione di tutte le cubiche a �1 � necessaria per poter fare dei paragoni fra le varie cubiche, come vedremo in seguito paragonando la cubica dell�astronomia con la cubica (diversa) del SETI. L�autore ha dimostrato matematicamente che, sotto le tre condizioni di cui sopra, i quattro coefficienti della cubica (1) sono dati da:
(4)
In conseguenza delle formule (4), si possono poi dimostrare i seguenti importanti risultati:
a) L�istante (o epoca storica) del punto di flesso della cubica � dato da:
(5)
ed ha come ordinata corrispondente �1/2 (questo per via del fatto che la cubica ha simmetria �dispari� rispetto al suo punto di flesso).
b) L�istante (o epoca storica) del punto di minimo della cubica � dato da:
(6)
con ordinata corrispondente pari a �1 per ipotesi.
c) La durata della decadenza, definita da t minimum e t Maximum � espressa, in termini di Mt ed Rt, da:
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d) La durata della ripresa, definita da Rt � t minimum � espressa, in termini di Mt ed Rt, da:
(8)
Dalle ultime due equazioni � evidente che
(9)
e) Abbiamo anche trovato utile definire il tempo (o epoca storica) di Pre-Massimo,  denotato t preMaximum, come il tempo prima del massimo durante il quale il valore negativo di y era tanto basso quanto dopo il massimo lo sar� stato solo nel momento peggiore della decadenza. Nel linguaggio della storia dell�astronomia, il tempo di PreMassimo � il tempo antecedente Aristarco in cui la conoscenza dell�astronomia era pessima al punto tale che lo sar� di nuovo in egual misura solo nel Medioevo pi� nero. Si pu� allora dimostrare che
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