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Si invertimos la recta
corrdenada en la dirección positiva, los números aumentan su valor. Esto
refleja que los números reales están ordenados, esto se da cada dos
números, a y b, exactamente uno después de otro.
a es menor que b
b es menor que a
a es igual a b
Para describir la medida
relativa de dos números reales, usamos los símbolos < (menor que) y 
(menor o igual que), que son llamadaos inecuaciones. Estos símbolos se
definen así:
|
Definición: Si a
y b son números reales, entonces:
a<b significa que b-a es positivo
a b significa que
a<b o a = b |
La incecuación a<b, que se
lee "a es menor que b" puede ser escrita también como b>a,
que se lee "b es mayor que a"; y la inecuación a
b , que se lee "a es menor o igual a b", puede ser escrito como
b  a , que se lee "b es
mayor o igual que a".
Definición: Si a,
b, y c son números reales, podemos escribirlos
a<b<c
cuando a<b y b<c |
Geométricamente, a<b<c
establece que en una recta de coordenadas, b está a la derecha de a; y c
está a la izquierda de b.
El símbolo a<b
c significa a<b y b c.
Ejemplo 2: Las siguientes
inecuaciones son todas correctas:
Para distinguir verbalemente
números que satisfagan a 0
y los que satisfagan a>0, llamamos "a no negativo" si a
0 y positivo si a>0. Un número no negativo es un número positivo o
cero.
Las siguientes propiedades de
las inecuaciones son frecuentemente usadas en el cálculo.
Teorema: a, b, c y
d son números reales:
a) Si a<b y b<c, entonces a<c.
b) Si a<b, luego a+c < b+c y a-c < b-c.
c) Si a<b, luego ac<bc cuando c es positivo y ac>bc cuando
c es negativo.
d) Si a<b y c<d, luego a+c<b+d
e) Si a y b son ambos positivos o ambos negativos y a<b, entonces
1/a>1/b |
Estas cinco propiedades son
verdaderas si < y > son reemplazadas por y , respectivamente.
Si llamamos a la dirección de
los puntos de una inecuación "sentido", entonces las partes
(b)-(e) en este teorema pueden parafrasearse informalmente así:
b) El sentido de una
inecuación cambia si el mismo número se agrega o quita de ambos lados.
c) El sentido de una inecuación cambia si ambos lados son multiplicados
por el mismo número positivo, pero el sentido es revertido si ambos lados
son multiplicados por le mismo número negativo.
d) Las inecuaciones con el mismo sentido pueden ser sumadas.
e) Si ambos lados de la inecuación tienen el mismo signo, entonces el
sentido de la inecuación se revierte tomando el recíproco de cada lado.
Ejemplo 3:
| Inecuación
de partida |
Operación |
Inecuación
resultante |
-2<6
-2<6
-2<6
-2<6
3<7
3<7
3<7
-8<-6
4<5, -7<8 |
Agrego
7 de ambos lados
Saco 8 de los dos lados
Multiplico ambos lados por 3
Multiplico ambos lados por -3
Multiplico ambos lados por 4
Multiplico ambos lados por -4
Tomo los recíprocos de ambos lados
Tomo los recíprocos de ambos lados
Sumo correspondientemente a cada lado. |
5<13
-10<-2
-6<18
6>-18
12<28
-12>-28
1/3>1/7
-1/8>-1/6
-3<13 |
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