1.3.1. NEWTON-Interpolation mit äquidistanten Stützstellen
In den folgenden Betrachtungen wird angenommen, dass äquidistante Stützstellen
vorliegen, d.h.
| xi+1 - xi = h, h-konstant. | (1.13) |
Absteigende Differenzen:
Seien xi = x0 + i h, i = 0, 1, ..., n und fi mit fester
Schrittweite h gegeben.
- Definition 1.2:
-
Die k-te vorwärtsgenommene (absteigende) Differenz ist rekursiv definiert durch
Δ0fi := fi und
Δkfi := Δk-1fi+1
- Δk-1fi für k > 0.
Beispiel 1.4:
| f[x0,x1] = |
f1 - f0
x1 - x0 |
= |
Δ0f1 - Δ0f0
1 × h |
= |
Δ1f01! × h |
| f[x0, x1, x2] = |
Δ1f1 - Δ1f0
(1! × h) × (x2 - x0) |
= |
Δ2f02! × h |
Beweis 1.6:
Behauptung: Für alle f[x
i,x
i+1,...,x
i+k] gilt
folgende Bildungsvorschrift.
| |
| f[xi+0,xi+1,...,xi+k] = |
Δkfik! hk |
|
(1.14) |
Induktionsanfang: Gleichung (1.14) gilt für k = 0, denn
Δ
0f
i = f
i.
Induktionsvoraussetzung: Gleichung (1.14) gilt für k = q.
Induktionsbehauptung: Gleichung (1.14) gilt für k = q + 1.
Induktionsbeweis:
f[x
i+0,x
i+1,...,x
i+q+1] =
Aus Induktionsanfang und Induktionsschritt folgt, dass Gleichung (1.14) für alle k gilt.
QED
Durch geeignete Substitution kann man damit die Darstellung des Interpolationspolynoms
vereinfachen.
Bemerkung 1.7: Die Variablentransformation mit t = (x - x0)÷h
führt zur folgenden Darstellung
| pn(t) = |
Δ0f00! | + |
Δ1f01! | t + |
Δ2f02! |
t(t-1) + ... + |
Δnf0n! |
t(t-1)...(t-(n-1)) |
Aufsteigende Differenzen:
Sei h = xi+1 - xi für i = 0, 1, ..., n - 1, d.h.
xi = x0 + i×h gilt für alle i = 0, 1, ..., n.
- Definition 1.3:
- Die k-te rückwärtsgenommene (aufsteigende) Differenz ist rekursiv definiert
durch
0fn-i := fn-i und
kfn-i
:= k-1fn-i -
k-1fn-i-1 für k > 0.
Beispiel 1.5:
f[x
n-1, x
n] =
|
f[xn-2, xn-1, xn] = 
Beweis 1.7:
|
Behauptung: f[xn-i-k, xn-i-k+1, ..., xn-i-0] =
 | (1.15) |
| Der Beweis für die Gleichung (1.15) läuft analog zum Beweis der
Gleichung (1.14). |
Mit Hilfe der Bildungsvorschrift für aufsteigende Differenzen und einer Substitution
lässt sich die Formel des Interpolationspolynoms vereinfachen.
Bemerkung 1.8: Die Variablentransformation mit t = (x - xn)÷h
führt zur folgenden Darstellung
pn(t) = 
 Inhalt
NEWTON-Interpolation
HERMITE-Interpolation
|