2.2. Approximation mittels allgemeinem Ansatz

Der Graph einer Approximationsfunktion F(x) soll in einen Intervall [a,b] möglichst "nah" an den Graph einer gegebenen, stetigen Funktion f(x) liegen. Da der Gebrauch der quadratischen Norm (L2-Norm) üblich ist, lautet eine Approximationsforderung:
||F(x) - f(x)||2 ® min (2.1)
Wegen der Monotonie und der Nichtnegativität der quadratischen Funktion ||.||2 wird im Weiteren nur ||.||22 betrachtet, so dass ||F(x) - f(x)||22 minimal sein soll.
||F(x) - f(x)||22 ® min(2.2)
Da die Funktion f(x) im Intervall [a,b] stetig ist, wird für die Approximation F(x) der folgende Ansatz
F(x) = sum(j=1;n;ajgj(x)) (2.3)
mit den stetigen, vorgegebenen Funktionen gj(x) gemacht. Es wird wegen der Forderung (2.2)
Q(a1, a2, ... , an) := ||F(x) - f(x)||22 (2.4)
definiert. Damit gilt nun mit der Definition 2.2 und Ansatz (2.3)
Q(a1, a2, ... , an) = i(a;b;sum(j=1;n;(ajgj(x) - f(x))^2 dx) (2.5)
Nach dem notwendigen Kriterium für ein Extremum müssen die ersten partiellen Ableitungen von Q gleich null sein. Durch partielle Ableitung von Q(a1, a2, ... , an) nach ak, k = 1, ..., n, ergeben sich die folgende Gleichungen
dQ/da(k) = i(a;b;2(sum(j=1;n;ajgj(x)) - f(x))gk(x)dx), k = 1, ..., n (2.6)
Nun wird dQ/da(k) gleich null gesetzt, so dass
i(a;b;(a1g1(x)+...+angn(x)-f(x))gk(x)dx) = 0, k = 1, ..., n (2.7)
folgt. Umformen von (2.7) liefert das Gleichungssystem
Gleichungssystem (2.8)
Da die Koeffizientenmatrix von (2.8) symmetrisch ist, besitzt das Gleichungssystem (2.8) eine eindeutige Lösung, wenn die Koeffizientenmatrix positiv definit ist. Durch Einsetzen der berechneten Koeffizienten in (2.3) folgt die Funktion F(x).
Die zweiten partiellen Ableitungen von Q(a1, a2, ... , an) werden benötigt, um das hinreichende Kriterium zu prüfen.
Matrix der Ableitungen = Koeffizientenmatrix · 2 (2.9)
Da die rechte Matrix der Gleichung (2.9) genau dann symmetrisch und positiv definit ist, wenn die Koeffizientenmatrix von (2.8) dies ebenfalls ist, wird jede eindeutige Lösung des Gleichungssystems (2.8) die Forderung erfüllen, ein Minimum zu sein.

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