Giroscopio[1,2]

La rotación se asocia con un cambio angular de la posición de un cuerpo con respecto al tiempo. La torca o momento de torsión puede pensarse como la tendencia de una fuerza a realizar una rotación. Vectorialmente, la torca se define como:

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F$$ (1.1)

El momento angular $\vec L$ de una partícula que está rotando alrededor de un punto O se define matemáticamente con el producto vectorial:

$$\vec L = \vec r \times \vec p$$ (1.2)

donde $\vec r$ se mide relativo a O y $\vec p = m \vec v$ es el momento lineal o cantidad de movimiento.

A partir de la segunda ley de Newton, $\vec F={d\vec p \over dt}$, y combinando las ecuaciones 1.1 y 1.2 se puede deducir la relación entre el momento angular y la torca:^1.1

$$\vec \tau = {d\vec L \over dt}$$ (1.3)

Para un objeto que se encuentra en un movimiento circular, L se define como la masa por la velocidad por el radio de la circunferencia; por otro lado, la velocidad es igual a la velocidad angular por el radio ($v=\omega r$). Entonces:

$$L = m_i v_i r = m_i r_i^2 \omega$$ (1.4)

Al sumar respecto a todas las partículas que forman al objeto, se obtiene:

$$L = I \omega$$ (1.5)

La expresión anterior es análoga a la del momento lineal, donde la velocidad se reemplaza por la velocidad angular y la masa por el momento de inercia (I). Un tipo de movimiento familiar es el que se observa al hacer girar un trompo alrededor de su eje de simetría como se observa en la figura 1.1a. Dicho movimiento alrededor de la vertical es conocido como precesión.^1.2

Figura 1.1: (a)Representación del movimiento de un trompo. (b)Giroscopio.

Para ilustrar de manera sencilla las características de un movimiento como el del trompo, se considerará a un giroscopio simple (figura 1.1b), el cual consta de una rueda que puede girar y que está sujeta a un eje cuyo pivote se encuentra a una distancia D. Hay dos fuerzas externas actuando sobre el sistema (rueda y eje) que son el peso Mg y la normal del soporte sobre el eje que no produce torca. De esta manera la torca externa sobre el sistema es

$$\vec \tau = MgD \hat \imath$$

La dirección de esta torca es perpendicular al eje de la rueda (perpendicular a $\vec L$). Este momento de torsión hace cambiar al momento angular en la dirección de la torca (ver ec. 1.3), es decir que el eje se mueve en el plano horizontal:

$$d\vec L= \vec \tau dt = Mg D dt \hat \imath$$

El momento angular total es la suma del momento angular de espín (debido al giro de la rueda) más el que se origina por la precesión de la rueda en torno al pivote. Para simplificar, la contribución debida a la precesión es despreciable, lo que es una buena aproximación si la frecuencia de precesión ($\omega _p$) es mucho menor que la frecuencia de ``espín'' ($\omega _s$). En el diagrama vectorial de la figura 1.1b se muestra que en el tiempo dt el vector $\vec L$ gira describiendo un ángulo $d\phi$. Se puede calcular el cambio angular con la siguiente expresión:

$$d\phi = {dL \over L} = {Mg D dt \over I \omega _s}$$ (1.6)

La rapidez con la que precesa el eje es $d\phi \over dt$, por lo tanto:

$$\omega_p = {d \phi \over dt} = { Mg D \over I \omega_s}$$ (1.7)

Este resultado es válido sólo cuando $\omega_p \ll \omega_s$.

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