Vous trouverez sur cette page des réponses à vos questions

  1. Pour $n=1$ , on a :
    • $\displaystyle \sum_{k=1}^{1} (-1)^{k}k=(-1)^{1}1 = -1$
    • Et $\frac{(-1)^{1}(2\times 1+1)-1}{4} =\frac{-3-1}{4}=\frac{-4}{4}=-1$
      • Donc $P(1)$ est vraie .
  2. Soit $n \in \N^{*} $
    • Supposons que : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4}$
    • Et Montrons que : $\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k=\frac{(-1)^{n+1}(2(n+1)+1)-1}{4} =\frac{(-1)^{n+1}(2n+3)-1}{4}$
      • $$ \begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k}k & = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k}k + (-1)^{n+1}(n+1)\\ & = \frac{(-1)^{n}(2n+1)-1}{4} + (-1)^{n+1}(n+1) \\ & = \frac{(-1)^{n}(2n+1)-1+4 \times (-1)^{n+1}(n+1) }{4} \\ & = \frac{(-1)^{n}(2n+1)-1 - 4 \times (-1)^{n}(n+1) }{4} \\ & = \frac{(-1)^{n}[(2n+1)- 4 \times (n+1) ]-1 }{4} \\ & = \frac{(-1)^{n}(2n+1- 4n-4 )-1 }{4} \\ & = \frac{(-1)^{n}[-2n-3 ]-1 }{4} \\ & = \frac{(-1)^{n+1}(2n+3 )-1 }{4} \end{aligned} $$