DISTRIBUCIONES BIVARIADAS

INFERENCIA ESTADÍSTICA

PROBABILIDAD

PRUEBAS NO PARAMETRICAS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

APLICACIONES DE CHI CUADRADO

• Distribución de c²
• ^{Test de independencia en tablas de contingencia}
• ^{Corrección de Yates}
• ^{Test de homogeneidad}
• ^{Test de bondad de ajuste}
• ^{Otras aplicaciones:  test de igualdad de medianas, test de la varianza}

• Coeficientes de asociación :
                        simétricos y asimétricos
• Prueba (independencia y homogeneidad) G de Fisher
• Test de Kolmogorov -Smirnov : 
                           1 muestra ;  2 muestras

La distribución existe sólo para los valores NO negativos de  c2 , presenta asimetría positiva y tiene un sólo parámetro n (el número de grados de libertad) . Media  =  n    y varianza  = 2n    .                                                                        Moda:  para n mayor o igual a 2 es n - 2 , para n  igual a 1 es 0   La distribución de c2 cambia de forma según los grados de libertad. Puede aproximarse a la normal N(0,1) a medida que sus grados de libertad tienden a infinito ( en la practica la aproximación es aceptable con n=100)  según la expresión. Ejemplo :  Si  n= 100. En la tabla de c2 para 100 grados de     libertad el valor 124,3 corresponde a una   P (c2(100)<124.3) = 0.95 ) utilizando la aproximación normal      P  (z < 1.69) =   0.95449   Las tablas de  c2 se organizan y emplean como las de t

Una tabla de contingencia es una tabla de frecuencias conjuntas de dos variables categóricas. 
Los totales marginales son aleatorios

                                   De otra forma es que 
Si llamamos  a la probabilidad de que una observación pertenezca a la casilla ubicada en la fila i y la columna j, por aplicación del principio de probabilidades independientes se espera que :
                                                                   

Entonces la hipótesis nula es :

Las probabilidades p_i, p_j se estiman a partir de las frecuencias observadas en las correspondientes distribuciones marginales:
                      donde n es el número total de observaciones

	la frecuencia esperada (en la Ho) es :
	En el caso de que Ho sea cierta, la suma           Se distribuye como c2 con (f -1)( c-1 ) grados de libertad, siendo f el número de filas y c el número de columnas

Si el valor de c2 calculado es mayor que el de   c2 tabulado  en un test unicaudal, se rechaza la Ho. Las variables no son independientes  El test de  c2 es aproximado. Requiere que las frecuencias esperadas en cada casilla sean mayores o iguales a 5. Esto es particularmente importante en las tablas 2x2 (donde hay un sólo grado de libertad). Se puede usar la corrección de Yates:
Sin embargo en tablas de n x m es preferible unir las categorías de las casillas que tiene frecuencias esperadas menores a 5

Bondad de ajuste Un caracter hereditario está determinado por un par de alelos A y B . En la población  P(A) = P(B) = 0.5. Se toma una muestra de 100 animales y se determina el fenotipo con los siguientes resultados Ensaye la hipótesis de que la muestra fue extraída de la población mencionada (alfa = 0.05) Fenotipo AA AB BB frec. observada 30 48 28 P(AA) = 0.52 = 0.25;   P(BB) = 0.52 = 0.25  ;   P(AB) = 0.52 + 0.52 =  0.5 Fenotipo AA AB BB frec. esperada 25 50 25    c2 tab(2, 0.95) =  5.99   c2 calculado < c2 tabulado  por lo tanto NO se  rechaza la Ho . La muestra posiblemente fue extraída de la población mencionada

Testar la hipótesis de que una varianza  poblacional tiene un valor dado
                                                           Ho: s²  = k
La variable     se distribuye como c² si la distribución de x es normal
Por lo tanto se distribuirá como c² con n-1 grados de libertad. En este caso la hipótesis (y en consecuencia el test) es bicaudal. Pueden también plantearse hipótesis unicaudales