MATEMATICA

¿Qué proceder puro es más puro que éste?
Shakespeare, Enrique VI.

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Clasificación de los números | Entorno de un punto | Fórmula para el cálculo del error por mediciones | Historia de la Matemática | Máximo común divisor | Mínimo común múltiplo | Números primos y compuestos | Proporción directa | Proporción inversa | Proporcionalidad | Proporciones | Razón | Sistemas de unidades | Teorema del Error Absoluto |
Teorema del Error Relativo

Método de Mínimos Cuadrados


clasificacion de los numeros

Los números naturales ( ) son los del sistema decimal ( 0, 1, 2, 3... ) comprendidos entre 0 e infinito, es decir los enteros positivos.   Por lo tanto, los  números enteros ( ) comprenden a los naturales. Los hay mayores y menores de 0; los primeros se denominan positivos, y los otros son los negativos.
Son números racionales ( ) los fraccionarios o quebrados, los enteros y los naturales. Un número racional puede indicarse mediante números enteros ordenados, colocados uno sobre el otro y separados por una raya, o bien uno a continuación del otro, separados por una barra, y también mediante notación decimal. En las operaciones con números fraccionarios se pueden obtener cifras que se repiten infinitamente, formando lo que se conoce como período. También puede suceder que se obtengan infinitas cifras que no se repitan; en ese caso el número se denomina irracional ( ). El conjunto de los números irracionales y racionales es el de los números reales ( ), que están representados por un número decimal perteneciente a una sucesión; tres puntos suspensivos representan las infinitas cifras decimales que siguen.
Por último, están los números complejos ( ), que además de los reales, abarcan las raíces pares de los números negativos.


entorno de un punto

Llamamos entorno de centro a Î y radio r, con r > 0, al conjunto de puntos cuyas distancias al punto a son menores que r.
Escribimos:
S ( a, r )
al entorno de centro a y radio r. Así:
S ( a, r ) = { x Î / d ( x, a ) < r }
donde:
d ( x, a ) es la distancia entre x y a.
Como:
d ( x, a ) = | x - a |
se tiene:
S ( a, r ) = { x Î / | x - a | < r } = { x Î / a - r < x < a + r }
Ya que:
| x - a | < r     Û     -r < x - a < r     Û     a - r < x < a + r

Gráficamente se tendrá:


formula para el calculo del error por mediciones

Si hemos medido Xi con error, el error en Y será:


historia de la matematica

La matemática es la ciencia que estudia las magnitudes numéricas y espaciales, y las relaciones que se establecen entre ellas.
Comprende, entre otras ramas, la teoría de conjuntos, la aritmética, el álgebra, la teoría de funciones, el cálculo de probabilidades y la geometría.
La matemática tiene aplicación en casi todas las ciencias; la astronomía y la mecánica son casi puramente matemática aplicada; en la economía por ejemplo la matemática es un importante instrumento de trabajo.
Las propiedades matemáticas, para ser admitidas, han de ser demostradas, aunque existen unos principios admitidos sin demostración (axiomas y postulados), que sirven de base a las deducciones sucesivas. La elección de estos principios o fundamentos, su completitud y su no contradicción son uno de los principales campos de investigación y debate de los matemáticos, desde las últimas décadas del Siglo XIX.
El origen de las matemáticas se remonta a unos 3.000 años AC., con la aritmética comercial sumeria y la geometría caldea, utilizada para mediciones agrarias. La geometría como proceso deductivo apareció mucho tiempo después, en Grecia, con Thales de Mileto y Pitágoras de Samos; a los pitagóricos se debe, el teorema de Pitágoras y el descubrimiento de los números irracionales, que fueron estudiados posteriormente por Eudoxo de Cnido (S. IV AC.).
Durante el S. III AC., Alejandría fue un gran centro de estudios matemáticos; entre los matemáticos alejandrinos hay que destacar a Euclides, que sistematizó en sus Elementos todos los conocimientos matemáticos de la época y cuya geometría permaneció casi intacta hasta el S. XIX. Arquímedes, además de sus trabajos de hidrostática, evaluó el número en 3,1416 y fue un precursor del cálculo integral con su método mecánico de cálculo de áreas.
Durante la Edad Media apareció en Occidente el sistema de numeración decimal, introducido por los árabes, quienes lo habían aprendido de los indios. Los árabes fueron los continuadores de los griegos en el cultivo de las matemáticas y dieron un gran impulso al álgebra. Durante la Baja Edad Media y principios de la Edad Moderna, la escuela algebrista de Bolonia aportó importantes novedades, entre ellas la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado. A fines del S. XVI, John Napier ideó el cálculo logarítmico, perfeccionado posteriormente por Briggs al establecer los logaritmos decimales.
En 1637, Descartes, con su Geometría, introdujo el álgebra en los cálculos geométricos y creó, la geometría analítica. Pascal, además de realizar estudios sobre cónicas, fue, junto con Fermat, el iniciador del cálculo de probabilidades, y Newton y Leibniz fueron los creadores del cálculo infinitesimal.
Durante el S. XVIII cabe destacar a Taylor y, especialmente, a Euler, que estableció las bases de la topología, y a Lagrange, considerado el fundador de la mecánica analítica.
Los siglos XIX y XX se caracterizan por el aumento del rigor lógico y la aparición de nuevas teorías, como las geometrías no euclídeas y la teoría de conjuntos, base de la matemática moderna; entre los matemáticos de esta época hay que citar a Gauss, Lobachevsky, Riemann, Klein, Hilbert, Volterra, Cantor, Abel, Poincaré, Peano, Zörn y Gödel.
Extraido de: Enciclopedia Universal Multimedia de Planeta DeAgostini 1999.


maximo comun divisor

Si se consideran los números 24, 15 y 27, existe el número 3 que es divisor de todos ellos:

24 / 3 = 8
15 / 3 = 5
27 / 3 =9

En este caso se dice que este número 3 es divisor común a los números dados. En general:

Si un número es divisor de varios otros, se dice que es el divisor común de todos ellos.

Pero también puede suceder que el único divisor común que existe entre varios números sea el 1. En este caso se dice que los números dados son primos entre sí. Así los números 15, 8 y 49 son primos entre sí, pues el único divisor común a todos ellos es la unidad. Es decir:

Los divisores de los números 12, 24, 30 son:
Los divisores comunes, distintos de la unidad, son: 2, 3 y 6. El mayor de los divisores comunes es 6. Se dice que 6 es el máximo común divisor de 12, 24 y 30, y se indica con la siguiente notación:

M.C.D. (12; 24; 30) = 6

DEFINICION : se llama máximo común divisor (MCD) de dos o más números al mayor de los divisores comunes a esos números. Si los números son primos entre sí, el mayor divisor será la unidad.

Cuando los números son muy grandes se descompone cada uno de ellos en sus factores primos. El producto formado por los factores comunes considerados con su menor exponente es el máximo común divisor de los números dados.
Por ejemplo: hallar el MCD de 2520, 720 y 540.

2520 = 23 x 32 x 5 x 7        720 = 24 x 32 x 5        540 = 22 x 33 x 5

Luego, MCD (2520, 720, 540) = 22 x 32 x 5 = 180.


metodo de minimos cuadrados

Se busca una función asociada a f ( x ) :

F ( t, c1, c2, c3, ..., ck )

Como datos tenemos:

( tn , xn )

Elegiremos los parámetros tal que nuestra f ( x ) se acerque a esos números, por lo tanto minimizamos las distintas distancias D :

D = [ F ( tn, c1, c2, c3, ..., ck ) - xn ] 2

donde D es, como vemos, una función de los parámetros. Para minimizar efectuamos:

                  i = 1, ... , k

y obtendremos nuestro resultado en función de dichos ci


minimo comun multiplo

Sean los números 12, 15 y 10, los múltiplos que tienen son:
Los múltiplos comunes, distintos de 0, son: 60, 120, 180, etc. El menor de estos múltiplos comunes es 60; se dice que este número es el mínimo común múltiplo de los números dados y se escribe de la siguiente forma:
MCM (12; 15; 10) = 60.

DEFINICION: se llama mínimo común múltiplo (MCM) de dos o más números al menor de los múltiplos comunes distinto de cero, de los números dados.

Si los números dados son primos entre sí, el MCM de ellos es el producto de los mismos. Por ejemplo:

MCM (5; 8; 11) = 5 x 8 x 11 = 440

Cuando los números son muy grandes se descompone cada uno de ellos en sus factores primos. El producto formado por los factores comunes y no comunes, con su mayor exponente, es el mínimo común múltiplo de los números dados.
Por ejemplo: hallar el MCM de 2520, 720 y 540.

2520 = 23 x 32 x 5 x 7        720 = 24 x 32 x 5        540 = 22 x 33 x 5

Luego, MCM (2520, 720, 540) = 24 x 33 x 5 x 7 = 15120.


numeros primos y compuestos

DEFINICION: se dice que un número natural es primo cuando es divisible únicamente por sí mismo y por la unidad. Por ejemplo el 2, 3, 5, 17, etc.

DEFINICION: todo número distinto de cero es compuesto cuando admite algún divisor distinto de sí mismo y de la unidad. Por ejemplo el 24, porque admite divisores distintos de 1 y 24, como son: 2, 3, 4, 6, 8, 12.

Existe un método para la obtención de números primos, conocido como criba de Eratóstenes.
La criba es un cuadro o tabla que permite obtener todos los números primos menores que uno dado. Por ejemplo, sea 50 el número dado, se procede así:

 1     2     3     4     5     6     7     8     9    10
 11   12    13    14   15    16    17   18    19   20
21   22   23   24   25   26   27   28   29   30
31   32   33   34   35   36   37   38   39   40
41   42   43   44   45   46   47   48   49   50

El número 1 es primo; el 2 también lo es, pero no son primos los múltiplos de 2; entonces se tachan los números pares a partir de 4 ( 4 = 22 ). El número 3 es primo, pero sus múltiplos no lo son, entonces se tachan los números a partir de 6, que ya está tachado, luego se empieza a partir del número 9 ( 9 = 32 ). Se procede de igual forma con los múltiplos de 5 y 7, comenzando por 52 = 25 y 72 = 49. Como el número primo que sigue a 7 es 11, cuyo cuadrado, 121, no figura en el cuadro, todos los números que quedan sin tachar son los números primos menores que 50.

Manera de reconocer si un número es primo: quiero saber si el número 157 es primo. Bastará averiguar si 157 es divisible por algún número primo menor que él, ya que de no serlo por un número primo, no puede serlo tampoco de un número compuesto (que es siempre múltiplo de algún número primo). Se prueba si 157 es divisible por 2, 3, 5, 7, 11, etc. Se observa que no es divisible por dichos números, cuando se realiza la división de 157 por 13 se obtiene:

por ser el cociente 12 menor que el divisor 13, se asegura entonces que 157 es primo.

REGLA: para reconocer si un número es primo, se lo divide sucesivamente por los números primos menores que él. Si se llega a una división en que el cociente es menor que el divisor, sin haber obtenido ningún cociente exacto, el número es primo.

Tabla de números primos menores que 1000
1 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37
41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163
167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233
239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311
313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389
397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463
467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563
569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641
643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727
733 739 743 751 755 761 769 773 787 797 809 811 821
823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907
911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997


proporcion directa

La proporcionalidad es directa si al aumentar una de las magnitudes, también aumenta la otra según una razón dada. Si la primera disminuye, la segunda disminuye también.
En la expresión:
Y = kx

Y y x son variables y k es la razón entre ellas o constante de proporcionalidad.

Por ejemplo:
Longitud tela (m) 1 2 4 5 6
Costo ($) 1,50 3,00 6,00 7,50 9,00

El costo de la tela será directamente proporcional a la longitud de la tela.
Adaptando esta expresión al ejemplo anterior, x sería la longitud de la tela, Y el costo y k el precio del metro de tela.
Y es la variable dependiente, porque su valor total depende de la longitud de la tela. La variable independiente es x, porque la longitud de la tela puede variar según convenga.
Significa que Y es directamente proporcional a x. Puede escribirse también Y/x = k, lo que permite determinar el valor de la constante k sabiendo los valores de x e Y.
En el ejemplo visto, k = 1,50. Entonces ahora puede calcularse el costo que tendrá una tela de 7 metros de longitud, haciendo Y = kx = 1,50 . 7 = 10,50 $.


proporcion inversa

Cuando una de las variables aumenta al disminuir la otra, decimos que son inversamente proporcionales o que están en proporción inversa.
Como ejemplo de este tipo de proporcionalidad puede tomarse el aumento en el tiempo necesario para recorrer una distancia si la velocidad disminuye. Del mismo modo, si el tiempo disponible para recorrer una distancia dada debe disminuir, la velocidad debe aumentar.
La proporcionalidad inversa se formula:
X = k / Y
Y despejando k,
k = XY
Por ejemplo:
Para hacer un viaje a 90 km/h se tardan 2 horas. Si la velocidad se reduce a 60 km/h ¿cuánto tiempo se tardará?
k = XY = 2 x 90 = 180,
luego: X = k / Y = 180 / 60 = 3.
Quiere decir que yendo a 60 km/h se tardarán 3 horas en hacer el viaje.


proporcionalidad

En muchas ciencias existen principios y leyes que se basan en la relación entre dos magnitudes ligadas de manera que cuando una de ellas cambia, también cambia la otra.
La proporcionalidad estudia las relaciones existentes entre dos cantidades y por las cuales cualquier cambio en una de ellas produce un cambio definido en la otra, basado en una razón fija.
Las magnitudes relacionadas de esta manera se llaman magnitudes proporcionales.
  • Observación: No debe confundirse una magnitud proporcional con la proporcionalidad misma, ya que ésta última es una relación entre las magnitudes.

  • proporciones

    Una proporción es una expresión que indica la igualdad entre dos razones, como por ejemplo:

        (1)

    En la expresión (1), a es el primer término, b el segundo, c el tercero y d el cuarto. Los términos a y d se llaman extremos y los términos b y c se llaman medios. En este ejemplo, d se llama cuarta proporcional a a, b y c.
    Si el segundo y tercer término (los medios) son iguales, reciben el nombre de media proporcional (y la proporción se llama continua):
    en (1), b es la media proporcional entre a y d, y d se llama tercera proporcional a a y b.
    Los problemas de proporciones se reducen a encontrar un término conociendo todos los demás. Y la regla usada (Propiedad Fundamental de las Proporciones) establece que:

  • El producto de los medios es igual al producto de los extremos.
  • Por ejemplo: Hallar el valor de x si

    tenemos que:   2.x = 3.5                despejando x:   x = 3.5/2
    y resolviendo:   x = 7,5.


    razon

    Una razón es una expresión que indica la relación entre dos cantidades.
    Se llaman también relaciones, y pueden ser aritméticas (o por diferencia) o geométricas (o por cociente).
    La razón aritmética o por diferencia se obtiene restando ambas cantidades. Así, la razón 8 a 3 se escribe 8 - 3.
    La razón geométrica es el cociente obtenido al dividir una de las cantidades por la otra, y suele escribirse en forma de fracción.
    Dos magnitudes expresadas como razones deben estar en la misma unidad de medida.


    sistemas de unidades

    Los sistemas de unidades utilizados mundialmente son:
  • CGS   (Centímetro - Gramo - Segundo)

  • MKS   (Metro - Kilogramo - Segundo)

  • En las últimas décadas se ha intentado realizar una estandarización mediante el sistema SI (Sistema Internacional de unidades). Sus unidades básicas son:

    CANTIDADNOMBRESIMBOLO
    longitudmetrom
    masakilogramoKg
    tiemposegundos
    corriente
    eléctrica
    ampéreA
    temperatura
    termodinámica
    kelvinK


    teorema del error absoluto en la suma y la resta

    En las operaciones de suma y resta la cota superior para el error absoluto en el resultado, está dada por los errores absolutos de los operandos.

    DEMOSTRACION: la demostración es similar para la suma y para la resta. Demostraremos para la resta.

    La resta es: X1 - X2
    El máximo valor de X1 que podemos tener es:
    máx X1 = 1 + E1
    Para X2, el mínimo valor es:
    mín X2 = 2 - E2
    ya que quiero hallar los "topes" que ha de tener la operación.
    Entonces:
    máx (X1 - X2) = 1 - 2 + [E1 + (-E2)] = 1 - 2 + [E1 - E2]
    Además,
    mín X1 = 1 - E1         máx X2 = 2 + E2
    Entonces:
    mín (X1 - X2) = 1 - 2 + (-E1 -E2) = 1 - 2 - (E1 + E2)
    Luego:
    mín (X1 - X2) £ X1 - X1 £ máx (X1 - X2)
    Finalmente:
    1 - 2 - (E1 + E2) £ X1 - X2 £ 1 - 2 + (E1 - E2)


    teorema del error relativo en el producto y el cociente

    En el producto y en el cociente, la cota del error relativo es la suma de las cotas de los errores de los operandos.

    DEMOSTRACION:


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