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1. Introdução
Certos sistemas hidrodinâmicos mostram
padrões de fluxo de estado estacionário, enquanto outros
oscilam de forma periódica regular. Ainda outros variam de
forma aparentemente aleatória irregular em 3-D, e, mesmo
quando observados por longos períodos de tempo, não parecem
repetir sua história anterior.
Todas estas formas de comportamento podem ser observadas nos
experimentos domésticos de vaso giratório, descritos por Fultz, et al. (1959) e Hide (1958). Nestes experimentos, um
tubo cilíndrico contendo água gira sobre seu eixo, aquecido
perto da sua borda e resfriado perto do seu centro de forma
simétrica e constante. Sob certas condições o fluxo resultante
é tão simétrico e constante quanto o aquecimento que lhe dá
origem. Sob diferentes condições um sistema de ondas
regularmente espaçadas se desenvolve e progride a uma
velocidade uniforme sem mudar sua forma. Sob condições ainda
mais diferentes se forma um padrão de fluxo irregular, e se
movimenta e muda sua forma de maneira irregular não periódica.
A falta de periodicidade é muito comum nos sistemas naturais,
e é uma das características distintivas do fluxo turbulento.
Como os padrões de fluxo turbulento instantâneo são tão
irregulares, a atenção geralmente é restrita às estatísticas
da turbulência, que, em contraste com os detalhes da
turbulência, geralmente se comportam de maneira regular e bem
organizada. O meteorologista de curto alcance, no entanto, é
forçado, quer queira quer não, a predizer os detalhes dos
redemoinhos turbulentos de grande escala – os ciclones e
anticiclones – que continuamente se organizam em novos
padrões.
1A
pesquisa informada neste trabalho foi patrocinada pela
Direção de Pesquisa Geofísica do Centro de Pesquisa de
Cambridge da Força Aérea, sob Contrato N° AF 19(604)-4969.
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Assim há ocasiões em que o verdadeiro interesse é ter mais
do que as estatísticas do fluxo irregular.
Neste estudo trabalharemos com sistemas de equações determinísticas que são
idealizações dos sistemas hidrodinâmicos. Estaremos interessados
principalmente em soluções não periódicas, isto é, soluções que nunca repetem
sua história passada exatamente, e onde todas as repetições aproximadas são de
duração finita. Assim estaremos envolvidos com o último comportamento das
soluções, em oposição ao comportamento transitório associado a condições
iniciais arbitrárias.
Um sistema hidrodinâmico fechado de massa finita pode aparentemente ser
tratado matematicamente como uma coleção finita de moléculas – normalmente uma
coleção finita muito grande – em cujo caso as leis dominantes podem ser
expressas como um conjunto finito de equações diferenciais ordinárias. Estas
equações geralmente são altamente intratáveis, e o conjunto de moléculas
normalmente é aproximado por uma contínua distribuição de massa. As leis
dominantes então são expressas como um conjunto de equações diferenciais
parciais, contendo tais quantidades como velocidade, densidade, e pressão como
variáveis dependentes.
As vezes é possível obter soluções particulares dessas equações
analiticamente, especialmente quando as soluções são periódicas ou constantes
com o tempo, e, realmente, muito trabalho tem sido dedicado a obter essas
soluções por um esquema ou outro. Geralmente, no entanto, as soluções não
periódicas não podem ser facilmente determinadas exceto por procedimentos
numéricos. Esses procedimentos envolvem substituir as variáveis contínuas por
um novo conjunto finito de funções do tempo, que podem ser talvez os valores
das variáveis contínuas em uma rede selecionada de pontos, ou os coeficientes
nas expansões dessas variáveis em séries de funções ortogonais. As leis
dominantes então se transfornam em um conjunto finito de equações diferenciais
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