ordinárias
novamente, embora um conjunto muito mais simples do que
aquele que governa os movimentos moleculares individuais.
Em qualquer sistema hidrodinâmico real a dissipação viscosa
está ocorrendo sempre, a menos que o sistema esteja se
comportando como um sólido; e a dissipação térmica está
ocorrendo sempre, a menos que o sistema esteja a temperatura
constante. Para certos propósitos muitos sistemas podem ser
tratados como sistemas conservativos, nos quais a energia
total, ou alguma outra quantidade, não varia com o tempo. Ao
procurar o ultimo comportamento de um sistema o uso de
equações conservativas é insatisfatório, já que o último
valor de qualquer quantidade conservativa teria que igualar
o valor inicial arbitrariamente escolhido. Esta dificuldade
pode ser ultrapassada incluindo os processos dissipativos,
através disso tornando as equações não conservativas e
também incluindo forçamentos externos, mecânico ou térmico,
assim, evitando que o sistema finalmente alcance um estado
de repouso. Se o sistema deve ser determinístico, as funções
de forçamento, se não constantes com o tempo, devem variar
de acordo com alguma função determinística.
Neste trabalho, portanto, lidaremos especificamente com
sistemas finitos de equações diferenciais ordinárias
determinísticas, criadas para representar os sistemas
hidrodinâmicos dissipativos forçados. Estudaremos as
propriedades das soluções não periódicas destas equações.
Não é óbvio que essas soluções possam existir. Na verdade,
em sistemas dissipativos governados por conjuntos finitos de
equações lineares, um forçamento constante leva finalmente a
uma resposta constante, enquanto um forçamento periódico
leva a uma resposta periódica. Então, o fluxo não periódico
às vezes tem sido considerado como o resultado de forçamento
randômica ou não periódica.
O raciocínio que leva a estas conclusões não é aplicável
quando as equações dominantes são não lineares. Se as
equações contêm termos que representam a convecção – o
transporte de alguma propriedade de um fluido pelo movimento
do fluido em si – um forçamento constante pode levar a uma
resposta variável. Nos experimentos de vaso giratório já
mencionados, tanto o fluxo periódico quanto o não periódico
resultam do forçamento térmico que, dentro dos limites do
controle experimental, é constante. Soluções periódicas
exatas de sistemas simplificados de equações, representando
o fluxo participativo com forçamento térmico constante, têm
sido obtidas analiticamente pelo autor (1962a). O autor
(1962b) também achou soluções não periódicas de sistemas
similares de equações por meios numéricos.
2. Espaço da fase
Considere um sistema cujo estado pode ser descrito por M
variáveis X1... XM.
Permita que o sistema seja governado por um conjunto de
equações
onde o tempo t é a única variável independente, e as
funções Fi possuem derivadas primeiras e
parciais contínuas. Tal sistema pode ser estudado por meio
do espaço de fase−
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um espaço euclidiano M-dimensional Γ
cujas coordenadas são X1, … , XM.
Cada ponto no espaço de fase representa um
possível estado instantâneo do sistema. Um estado que varia
de acordo com (1) é representado por uma partícula em
movimento no espaço de fase, deslocando-se ao longo de uma
trajetória no espaço de fase. Para completar, a
posição de uma partícula estacionária, representando um
estado estável, é entendida como uma trajetória.
O espaço de fase tem sido um conceito útil para tratar
sistemas finitos, e tem sido utilizado por matemáticos como
Gibbs (1902) em seu desenvolvimento da mecânica estatística,
Poincaré (1881) em seu tratamento das soluções de equações
diferenciais, e Birkhoff (1927) em seu tratado sobre
sistemas dinâmicos.
Com base na teoria das equações diferenciais (por exemplo,
Ford 1933, ch. 6), segue, como as derivadas parciais ∂Fi/∂X1
são contínuas, que se t0 é qualquer tempo,
e se X10, …,XM0 é
qualquer ponto em Γ, as equações (1) possuem solução
única
válida durante algum intervalo de tempo contendo t0, e
satisfazendo a condição
As funções fi são contínuas em X10,…,
XM0 e t. Assim, há uma única
trajetória através de cada ponto de Γ. Duas ou mais
trajetórias podem, porém, se aproximar do mesmo ponto ou a
mesma curva assintoticamente como t→∞ ou como t→-∞.
Além disso, como as funções fi são
contínuas, a passagem de tempo define uma deformação
contínua de qualquer região de Γ em outra região.
No caso familiar de um sistema conservativo, onde alguma
quantidade Q positiva definida, que pode representar
alguma forma de energia, é invariável com o tempo, cada
trajetória é restrita a uma ou outra das superfícies de
constante Q. Estas superfícies podem tomar a forma de
carapaças concêntricas fechadas.
Se, por outro lado, há dissipação e força, e se, sempre que
Q iguale ou exceda algum valor Q1
fixado, a dissipação produz a diminuição de Q mais
rapidamente então a força pode aumentar Q, então
(-dQ/dt) tem um limite menor positivo onde Q ≥ Q1,
e cada trajetória deve finalmente ficar aprisionada na
região onde Q < Q1. As trajetórias que
representam o fluxo dissipativo forçado podem então
diferenciar-se consideravelmente daquelas que representam o
fluxo conservativo.
Sistemas dissipativos forçados deste tipo são tipificados
pelo sistema
onde ∑aijkXiXjXk
desaparece identicamente, ∑bijkXiXj
é positivo definido, e c1,…, cM
são constantes. Se
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