Le tavole trigonometriche irrazionali

Però, anche se nei calcoli è opportuno usare delle approssimazioni numeriche, possiamo preparare delle tavole trigonometriche "esatte".

Se non ci sono applicazioni, perché mai dovremmo preoccuparci di preparare queste tavole? La risposta è molto semplice: possono servire per imparare qualcosa di nuovo, o per fare un ripasso, a seconda dei casi. Se andate nella mia pagina "Appunti e riassunti di matematica" potete trovare riassunti di trigonometria.

Considero la costruzione di queste tavole un esercizio molto educativo (non per niente l'ho fatto!).

Prerequisiti

Ci occorrono alcune formule per preparare le nostre tavole, e cioè le formule di addizione, quelle di sottrazione, quelle di bisezione (e deriveremo noi stessi quelle di trisezione, che sono un po' più complicate delle altre e non si trovano sui formulari). Poi ci occorrono alcune nozioni geometriche, quelle che ci danno i valori delle funzioni degli angoli di 60° e 18°.

Poi ci vorrà del software: per creare le illustrazioni e per fare i conti (sono molti, lunghi, meccanici e noiosi, quindi non c'è niente di male ad automatizzarli), come Yacas (vedete la mia pagina del software matematico, dove potete trovare molto altro software per il calcolo simbolico e per "fare i disegni").

Procedimento

Per costruire queste tavole, dedurremo innanzitutto il valore del coseno dell'angolo di 1°, e poi, usando le formule di addizione, calcoleremo i coseni degli angoli fino a 45°, di grado in grado. Dati i coseni calcoleremo infine i valori delle altre funzioni di quegli angoli.

Tavola

Per cominciare calcoliamo $\cos 20°$. Poiché 20° sono un terzo di 60°, applichiamo le formule di trisezione, vale a dire risolviamo la seguente equazione:

$\cos 60°=\frac{1}{2}=x^3-3x(1-x^2)=4x^3-3x$

rispetto alla x (che rappresenta $\cos 20°$). Il risultato è

Bibliografia

Umberto Forti, Trigonometria, Zanichelli, Bologna (1966).

Michele Povigna
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