TEOREMA DEL SENO

En un triángulo cualquiera se cumple siempre que:

Tenemos tres igualdades que nos relacionan los seis datos de un triángulo y que nos van a ayudar a resolverlos.

Actividad 2:

Sitúate con el ratón sobre los vértices del triángulo, pínchalos y muévelos. Observa cómo varían los valores de los cocientes dando el mismo resultado. Comprueba en tu cuaderno y con ayuda de la calculadora que esto es cierto para los triángulos que te van apareciendo en la pantalla.

Si quieres ver la demostración del teorema pulsa aquí

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

1A) Conocidos dos ángulos y el lado que los une.

Actividad 3:

Si de un triángulo conocemos A=30º, B=100º y c=5 cm , calcular el resto de los datos.

( Intenta poner en la escena estos datos, quizá tengas que cambiar la escala. Observa en la escena los datos que tienes y los que te faltan ).

Resolver en el cuaderno y comprueba las soluciones.

1B) Conocidos dos ángulos y un lado , que no sea el que les une.

En realidad es el mismo caso de antes, pues si conoces dos ángulos conoces el tercero.

Actividad 4:

Resolver en tu cuaderno, el triángulo  A=80º, C=30º y c=8 m.

2) Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.

Es el caso que más problemas plantea, pues podemos encontrarnos casos en los que tengamos una solución, dos soluciones o ninguna:

Actividad 5:

Observa la escena. Puedes mover el lado b variando el valor de A (parte inferior de la escena). Con esa longitud de b no obtienes un triángulo, luego el problema no tendría solución, pero si  prolongas lo suficiente la longitud de b,  puedes tener una solución o incluso dos  con el mismo valor de b.
Modifica ahora el ángulo B para que sea obtuso. En este caso por mucho que modifiques la longitud de b sólo obtienes una solución.

Resuelve el triángulo del que conocemos b=7.7 cm., c=8.7 cm. y B=52º.

Modifica la escena hasta que aparezcan esos datos, mueve luego el lado b y  apunta en tu cuaderno lo que observas.

  Teorema del coseno

EJERCICIOS

DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO

Como ya sabes por la definición de las razones trigonométricas:

h=b·senA, y h=a·senB

luego b·senA=a·senB, de donde se obtiene una de las igualdades del teorema del seno:

La otra se obtiene igual considerando otra de las alturas del triángulo.

Si el triángulo es obtusángulo se demuestra igual:

Se demuestra igual pues h=a·sen (B-180º), pero sen (B-180º)=sen B

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Demostración:

El teorema del seno se cumple tanto para el triángulo negro ABC, como para el rojo ABD. En este último observa que el lado opuesto a B es el diámetro de la circunferencia, luego 2R, por tanto tenemos:

y como sen90º=1 , por otro lado observa que D=C, luego sen D=sen C, de donde se obtiene la fórmula:

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Soluciones ejercicios:

1.a:     Como A+B+C=180º tenemos que C=180-A-B=180-30-100=50º

Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno:

y despejando  y b se calcula igual

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1.b.     Como A+B+C=180º tenemos que C=180-A-B=180-80-30=70º

Para el cálculo de las longitudes de los lados utilizaremos el teorema del seno:

y despejando  y del mismo modo 

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2.Aplicando el teorema del seno se obtiene ,

Luego C=62.9º o bien C=117.1º, el problema tiene dos soluciones.

Para C=62.9º A=180-B-C=65.1º y cm.
 
 

Para C=117.1 se tiene A=10.9º y a=1.8477348 cm.

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Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006