REGLA DE BARROW
CÁLCULO DE ÁREAS
Para hallar la integral definida
, se procede así:
1. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=
2. Se calculan los valores G(b) y G(a).
3. La integral buscada es
Si f(x)>0 en el intervalo [a,b] , lacoincide con el área del recinto limitado por la
gráfica de f(x) y el eje X en el intervalo [a,b].
NOTA IMPORTANTE:
1. Si f(x)>0 en el intervalo [a,b]
, la integral >0
2. Si f(x)<0 en el intervalo [a,b]
, la integral <0
3. Si f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b]
, la integral nos da la suma algebraica de las áreas que están
por encima y por debajo del eje X, cada una con su signo.
Actividad 1:
En la siguiente escena puedes ver representada la gráfica de la función y = f(x) = x2-2x+2 . Cambiando los valores de los límites de integración a, b (modificando con los pulsadores o introduciendo el valor directamente) se obtiene el valor de la Integral definida aplicando la Regla de Barrow.
| Realiza:
1) Calcula una primitiva G(x) de f(x) = x2-2x+2. 2) Calcula G(b) y G(a) 3) Calcula
la integral I = G(b)
-G(a) 4) Este resultado coincide con el valor del área del recinto coloreado de verde. 5) Modifica los valores de a, b y repite los pasos anteriores. 6) ¿Cuánto vale la integral si a=b?. 7) Coge un
valor c entre a, b y por ejemplo a=1 , c=2, b=3 calcula la
integral definida entre a, c , la integral definida entre c, b y la integral definida entre a, b .¿Qué relación existe
entre ellas? |
Actividad 2:
En esta escena puedes ver representada la función y = f(x) = x2-1 cambiando los valores de los límites de integración a, b vamos a ver el signo de la integral definida.
| Realiza:
1) Aplicando la Regla de Barrow calcula la integral de f(x) = x2-1 entre a=1, b=2 2) ¿Qué signo tiene la integral? 3) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=1 4) ¿Qué signo tiene ahora la integral? 5) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=2. 6) ¿Cuánto vale la integral ?. 7) Intenta
encontrar una relación entre el signo de la función f(x) y el signo de la integral. |
1. CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE X
Para calcular el área se procederá así:
1.- Si f(x)>0 en el intervalo [a,b] , el área =Según lo anterior, para calcular el área comprendida entre una curva y = f(x) y el eje OX y las rectas x=a, x=b se procederá así:
2.- Si f(x)<0 en el intervalo [a,b] , el área =|
3.- Si f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c, b ; el área es la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cambiando de signo esta última que es negativa.
1º. Se resuelve la ecuación f(x)=0 para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje OX. 
2º. Se ordenan de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x2<x3<b.
3º. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx.
4º. Se calculan G(a), G(x1), G(x2), G(x3), G(b).
5º. Las áreas de los recintos son los " valores absolutos" de las diferencias : G(a)-G(x1), G(x2)-G(x1), G(x3)-G(x2), G(b)-G(x3).
6. El área pedida es la suma de las áreas de los recintos.
Actividad 3:
En esta escena vamos a calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = x3-5x2+6x y el eje X y las rectas x=-1, x=4.
(Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso. Modificando los pulsadores f3, f2, f1, f0, a, b se puede calcular el área limitada por la gráfica de una función y = f(x) = f3x3+f2x2+f1x+f0 y el eje X y las rectas x=a, x=b.)
| Realiza :
1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida. 2) Resuelve la ecuación f(x) = 0. 3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas comprendidas entre ay b. (Paso = 2). 4) Calcula una primitiva G(x) de f(x) (Paso = 3). 5) Calcula el valor de G(x) en cada una de las soluciones de f(x) = 0. (Paso = 4). 6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5). |
| 7)
Modifica los valores a y b,
según los valores de la tabla, y calcula en tu cuaderno el área.
(Observa como va afectando al número de recintos y a la expresión
de I)
8) Modificando los valores de f3, f2, f1, f0, a, b y repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por la gráfica de la función f(x) = x3-4x2+3x y el eje X |
2. CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE DOS FUNCIONES.
Para calcular el área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x), y = g(x) se procede así
1º. Calculamos la función diferencia y = (f-g)(x).
2º. El área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x), y = g(x) es igual al área comprendida entre la función diferencia y = (f-g)(x) y el eje OX.
3º. Procedemos igual que en el apartado anterior.
Actividad 4
Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones f(x) = 4-x2, y g(x) = x+2 .
( Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso )
| Realiza:
1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida. 2) Resuelve la ecuación f(x)-g(x) = 0. 3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas. (Paso = 2). 4) Calcula una primitiva G(x) de f(x)-g(x) (Paso = 3). 5) Calcula el valor de G(x) en las soluciones de f(x)-g(x) = 0. (Paso = 4). 6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5). 7) Repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x2+x-2 y g(x) = 2x |
Actividad 5
Vamos a calcular el área del triángulo de vértices A(1,2) , B(4,8) y C(5,6). Para ello, lo primero que hay que hacer es obtener las ecuaciones de los lados del triángulo.
Calcula el área del triángulo.(Solución A = 6 unidades de superficie).
Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x2-2x y g(x) = -x2+ 4x
Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez
© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006
