INTEGRALES Y ÁREAS

1. INTRODUCCIÓN

2. INTEGRAL DEFINIDA. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

3. CÁLCULO DE INTEGRALES.

4. REGLA DE BARROW . CÁLCULO DE ÁREAS

1. INTRODUCCIÓN

Hay multitud de funciones para las cuales tiene gran interés el cálculo del área bajo su gráfica. Veamos algunos ejemplos:
 

• El área bajo la curva velocidad nos proporciona el espacio total recorrido.
• El área bajo la curva aceleración es la velocidad alcanzada.
• El área bajo la curva de ganancias nos proporciona las ganancias acumuladas.
• El área bajo la curva potencia funcionando en cada instante nos proporciona la energía consumida.
• El área bajo la curva que marca el caudal de agua vertida en un pantano es el volumen de agua acumulada en el pantano.

Como ves, el cálculo del área bajo una curva no es solamente un problema de interés geométrico, sino una información muy práctica en muchos casos.

En este tema aprenderemos como, a través de la Integral Definida, podemos calcular el área bajo la curva. 

Ejemplos:

1) Una persona camina durante 5 horas con una velocidad constante de 4 km/h. Cuando lleve 30 minutos de camino. ¿Cuál será el espacio recorrido?. ¿Qué espacio habrá recorrido a las 2 horas?. Haz una tabla que relaciones el tiempo (t) y el espacio (E) tomando valores de t de 30 en 30 minutos. Escribe la función E(t).

Compara los valores que has obtenido en la tabla con el área del rectángulo blanco que aparece en la gráfica siguiente cuando modificas el valor de t (en horas). ¿Qué observas?. Explica en tu cuaderno la relación que encuentres.

2) Al tomar la salida en una carrera de velocidad un atleta lleva (en el instante t=0) una velocidad de 1 m/s., y va aumentándola a razón de 2 m/s en cada segundo. La carrera dura 4 segundos. Estudia la velocidad y el espacio que el atleta habrá recorrido cuando t valga 1, 2, 3 y 4 segundos.

Compara los valores obtenidos para el espacio con los que toma el área del trapecio en la siguiente gráfica:

2. INTEGRAL DEFINIDA

Sea y=f(x) la gráfica de una función continua y positiva en el intervalo cerrado I=[a,b],con lo que podemos asegurar que es integrable según Riemann . La interpretación geométrica de la integral definida de la función f(x) en el intervalo [a,b]

representa el área de la región de plano comprendida entre la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y=0 y las rectas x=a y x=b.

Actividades :

1.- Modifica los valores de a y b y observa la modificación progresiva del área resaltada.

2.- ¿Qué ocurre en la gráfica si coinciden los valores de a y b?. Relaciónalo con el valor calculado de la integral definida.

 

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3. CÁLCULO DE INTEGRALES.

4. REGLA DE BARROW.CÁLCULO DE ÁREAS.

Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006