ASÍNTOTAS
La palabra asíntota, (antiguamente, "asímptota"), proviene del griego asumptotos, compuesto de " a"="sin" ; " sumpipto"="encontrarse" y, por tanto, nuestro término viene a significar "sin encontrarse, sin tocarse". En el estudio de funciones llamamos así a una línea recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, pero sin llegar a encontrarse ambas durante dicha aproximación infinita.
Las asíntotas surgen de manera natural al estudiar
el comportamiento de una función "en el infinito" de las variables.
Una recta " x=b " es una ASÍNTOTA VERTICAL de la función f(x) si el límite de la función en el punto "b" es infinito.
Cuando una función no está definida en un punto b, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada vez más grandes en valor absoluto, estamos ante una situación en la que aparece una asíntota vertical, que es la recta x=b. Se dice que en dicho punto, la función "tiende a infinito".
Actividad:
Observa la gráfica de la función y = 5/(x-2) :
1. Cambia los valores de x, acercándote hacia x=2. ¿Qué ocurre con la gráfica de la función respecto de la recta vertical?. (Aumenta la escala y mueve los ejes, si es preciso. El segmento indica la distancia entre la gráfica de la función y la recta).
2. ¿Qué ocurre cuando es exactamente x=2? Como ves, la tendencia es distinta en ambos lados del punto x=2, aunque en los dos casos es hacia infinito.
3. Cambia los valores de a y de b en la escena (excepto a = 0) y observa como varia el punto donde la función se va al infinito.
NOTAS:
1)Una función puede tener varias asíntotas verticales, incluso infinitas.
2) Para localizar las asíntotas verticales en funciones racionales, se hallan los valores de " x " que anulan el denominador, pero no el numerador.
3)Para localizar una "asíntota vertical" de una función f(x) basta localizar puntos "k" en donde la función no esté definida. De este modo el límite será infinito y la recta " x=k " será asíntota vertical.
Una recta de ecuación " y=k " es una ASÍNTOTA HORIZONTAL de la función f(x) si el límite de la función en el infinito es el número "k".Además la gráfica de ésta se parece cada vez más a la de la recta " y=k " para valores grandes de "x".
Dicho de otra manera si estudiamos lo que ocurre con la gráfica de la función cuando los valores de la variable independiente "x" se hacen muy grandes (hablando en valor absoluto), puede ocurrir que ésta se vaya acercando cada vez más a un valor determinado(y=c), sin llegar nunca a tomarlo. En tal caso, la recta y=c es una asíntota horizontal, dado que la función tiende a "pegarse" a dicha recta "en el infinito".
Actividad:
Observa la gráfica de la función : y = 5/(x +2) + 3.
1. Modifica los valores de x, acercándote hacia "infinito" (grandes en valor absoluto). ¿Qué ocurre con la gráfica de la función respecto de la recta horizontal?. (Aumenta la escala y mueve los ejes, si es preciso. El segmento indica la distancia entre la gráfica de la función y la recta).
2. Prueba con otros valores de a, b y c (excepto a = 0). Observa que en todas las funciones de esta familia, la tendencia es la misma tanto hacia "+ infinito" como hacia " - infinito": la recta y=c.
NOTAS:
1) Una función real de variable real puede tener como máximo 2 asíntotas horizontales (en este último caso, una de ellas es asíntota por la derecha y la otra lo es por la izquierda). Hay funciones que sólo tienen asíntota horizontal por la derecha o por la izquierda.
2) Una función cualquiera no tiene por qué tener los dos tipos de asíntotas que hemos visto. Puede no tener ninguna, por supuesto (cualquier función polinómica), tener sólo asíntotas verticales (una o más) o sólo asíntotas horizontales (una, o dos como mucho). Y en las asíntotas verticales la tendencia hacia infinito a ambos lados del punto de discontinuidad puede ser idéntica u opuesta.
Por ejemplo, observa la función siguiente (para n=2): y=5/(x-3)^2.
Observa cómo la tendencia de la función en las proximidades de x=b es hacia "+ infinito" por ambos lados. ¿A qué crees que se debe?.
Actividad:
Modifica las constantes a y n (excepto a = 0) y observa las gráficas sacando conclusiones.
Obtener conclusiones para los casos: 1) a >0, n par; 2) a>0, n impar; 3i) a<0, n par; 4) a<0, n impar. Haz en tu cuaderno una tabla con el esbozo gráfico de cada uno de los cuatro casos anteriores, correspondientes a la familia de funciones y=a/(x-b)^n , n>0, entero.
Una recta de ecuación y = mx + n (m distinto de 0) es asíntota oblícua de una función f(x) si para valores de x cada vez mayores (en valor absoluto), los puntos de la recta y los de la gráfica de la función están cada vez más próximos. Es decir, la recta y la gráfica de f(x) tienden a confundirse para valores grandes de x (en valor absoluto).
Es decir una función tiene una asíntota oblicua del tipo y=mx+n cuando la función se va acercando cada vez más a la recta asíntota en el infinito.
Actividad:
Consideremos el siguiente ejemplo: y = x^ 2/(x-1)
1) Modifica el valor de " x" y observa cómo la diferencia entre las ordenadas en la función y en la recta, para un mismo x (segmento naranja), va haciéndose más pequeña a medida que "x" tiende hacia "+ infinito" o hacia "- infinito". Eso significa que dicha recta es asíntota oblicua.
2) Averigua la ecuación de la asíntota oblicua y=mx+n. (Para hallar m y n, te basta con considerar dos valores de x y sus respectivas ordenadas).
3) Modifica los valores de a y de b para observar lo que ocurre en distintos casos de la familia de funciones y = a·x^2 / (x-b). ¿Tienen siempre asíntota oblicua?
4) Teniendo en cuenta el apartado anterior, ¿cuál es la característica de la expresión analítica que permite afirmar que las funciones de ese tipo tienen asíntota oblicua?. (¿Qué es lo que no has modificado en la expresión analítica?)
NOTAS:
1) Si una función tiene asíntotas horizontales, no tiene oblicuas. Esto es fácilmente esperable, puesto que una asíntota horizontal y=n es realmente un caso particular de asíntota oblicua y =mx +n, con m=0. Por tanto, la presunta asíntota oblicua que buscamos, es la horizontal ya existente.
CÁLCULO DE LAS ASÍNTOTAS OBLICUAS
1ª PARTE: Cálculo de la pendiente "m"
2ª PARTE: Cálculo de la ordenada en el origen "n"
Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez
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| © Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006 | ||
