| TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA |
| En todas las progresiones
aritméticas se puede encontrar una expresión que permite obtener
cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta
expresión se le denomina término general de la progresión aritmética. |
|
Actividad 2:
Analiza la sucesión de la escena
con los siguientes pasos:
| paso_1 |
Observa
que cada término es igual al
anterior más la
diferencia.
(Cambia el valor de n para comprobarlo) |
| paso_2 |
Observa
que todos los términos se pueden expresar
dependiendo del primero.
(Cambia el valor de n) |
Observa la relación que hay entre
la posición de cada
término y él número que
multiplica a la diferencia.
(Cambia el valor de n) |
| Busca el término general de la
sucesión del ejemplo. Prueba con distintas
sucesiones y busca la fórmula general para
cualquier sucesión. |
| paso_3 |
Muestra
el término general. |
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| EJERCICIOS DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN
ARITMÉTICA |
| Se trata de obtener el término
general de las progresiones aritméticas que se
proponen. |
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Copia en tu cuaderno las siguientes
progresiones aritméticas y calcula su término general:
| Términos |
a1 |
d |
an |
| 3, 7,
11, 15, ... |
|
|
|
| -12,
-9, -6, -3, ... |
|
|
|
| 12, 9,
6, 3, ... |
|
|
|
| 6, 6,
6, 6, ... |
|
|
|
| 10, 3,
-4, -11, ... |
|
|
|
| 120,
152, 184, ... |
|
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En cada caso anota el primer
término a1 y la diferencia d,
aplica la fórmula general y efectúa las operaciones
indicadas.
Puedes comprobar los resultados en la
escena. |
| SUMA DE n
TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA |
Cuando Gauss (matemático alemán del siglo XIX) estudiaba en la
escuela, su maestro propuso a los alumnos calcular la
suma de los cien primeros números, con objeto de que
practicaran la suma de números enteros. La sorpresa del
maestro fue que nada más terminar de enunciar el
ejercicio Gauss le dio
la solución:5.050.
Aquí se usa el mismo proceso que siguió
Gauss para resolver ese problema. |
|
Actividad 3:
Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.
Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que
los términos equidistantes suman lo mismo.
Prueba
con otro número de términos (11, 12,
..., 100, ...) y comprueba que se sigue
verficando.
Busca la
expresión que permite obtener la suma de los n primeros
términos. En el paso_2 puedes ver la
solución.
En el paso_3 puedes ver la fórmula general. |
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| EJERCICIOS DE LA SUMA DE n TÉRMINOS DE UNA
PROGRESIÓN ARITMÉTICA |
| Se trata de obtener la suma de
los términos que se indican en cada una de las
progresiones aritméticas que se proponen. |
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Copia en tu cuaderno las siguientes
progresiones aritméticas y calcula la suma de los términos que se indican:
| nº |
Progresión |
a1 |
an |
Sn |
| 100 |
3, 7,
11, 15, ... |
|
|
|
| 250 |
-12,
-9, -6, -3, ... |
|
|
|
| 87 |
12, 9,
6, 3, ... |
|
|
|
| 25 |
-6, -2,
2, 6, ... |
|
|
|
| 1000 |
10, 3,
-4, -11, ... |
|
|
|
| 35 |
120,
152, 184, ... |
|
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En cada caso anota el primer
término a1 y el último an,
aplica la fórmula general y efectúa las operaciones
indicadas.
Puedes comprobar los resultados en la
escena. |
Un poco de historia.
En un pequeño pueblo de Alemania (Brunswick), un profesor castigaba a sus alumnos haciéndoles sumar números consecutivos (por ejemplo sumar los 100 primeros números naturales). Era un duro castigo, pues había que hacer muchas sumas (1 + 2 = 3, 3 + 3 = 6, 6 + 4 = 10, 10 + 5 = 15,...) y era fácil equivocarse. Pero... una vez, uno de los niños le dio la solución en un tiempo sorprendente, el profesor le preguntó ¿cómo lo has hecho? El niño le dijo: 1 + 100= 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101,... siempre suma 101 y hay 50 sumas, en total 50 * 101 = 5050. El profesor quedó tan impresionado que le regaló un libro de Aritmética.
Ese niño tenía 10 años y se llamaba Carl Friedrich Gaüs. Fue uno de los mas grandes matemáticos.
Intenta enterarte de algo más sobre él.
2. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
| DEFINICIÓN DE
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA |
Se denomina progresión
geométrica a una sucesión de
números en la que el cociente (o la razón) entre dos
términos consecutivos es siempre igual.
Por lo tanto, cada término se obtiene multiplicando por
una misma cantidad (la razón) al término
anterior. |
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Actividad 1:
En esta escena puedes construir
progresiones geométricas, basta que indiques el primer
término y la razón.
a)Crea cinco
progresiones. Procura que el primer término sea distinto, en cada ejemplo, y que la razón en unos casos sea positiva mayor que 1, en otros positiva
menor que 1 y en otros negativa.
b)Copia
en tu cuaderno los cinco primeros términos de cada
sucesión y los términos de lugar 10, 20 y 50.
c)Elige
una de las progresiones que has construido e intenta
obtener una fórmula que te permita obtener cualquier
término a partir del lugar que ocupa (n).
d) Intenta extender el resultado obtenido
a las otras cuatro. |
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| TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA |
| En todas las progresiones
geométricas se puede encontrar una expresión que permite obtener
cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa. A esta
expresión se le denomina término general de la progresión geométrica. |
|
Actividad 2:
Analiza la sucesión de la escena
con los siguientes pasos:
| paso_1 |
Observa
que cada término es igual al
anterior por la razón.
(Cambia el valor de n para comprobarlo) |
| paso_2 |
Observa
que todos los términos se pueden expresar
dependiendo del primero.
(Cambia el valor de n) |
Observa la relación que hay entre
la posición de cada
término y el número a que
está elevada la razón.
(Cambia el valor de n) |
| Busca el término general de la
sucesión del ejemplo. Prueba con distintas
sucesiones y busca la fórmula general para
cualquier sucesión. |
| paso_3 |
Muestra
el término general. |
|
| |
| EJERCICIOS DEL TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN
GEOMÉTRICA |
| Se trata de obtener el término
general de las progresiones geométricas que se
proponen. |
| |
Copia en tu cuaderno las siguientes
progresiones geométricas y calcula su término general:
| Términos |
a1 |
r |
an |
| 1, 3,
9, 27, 81, ... |
|
|
|
| -5,
-10, -20, -40, ... |
|
|
|
| 1024,
512, 256, ... |
|
|
|
| 6, 6,
6, 6, ... |
|
|
|
| 100,
150, 225, ... |
|
|
|
| 1000,
-100, 10, ... |
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En cada caso anota el primer término a1 y la razón r,
aplica la fórmula general y efectúa las operaciones indicadas.
Puedes comprobar los resultados en la
escena. |
| SUMA DE n
TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA |
Se pretende
obtener una fórmula que nos permita calcular la suma de
n términos de una progresión geométrica. |
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Actividad 3:
Supongamos que queremos sumar los diez primeros términos:.
Si se multiplican los términos de la
sucesión por la razón se obtienen casi los mismos
sumandos. Aumentando el paso_1 (1, 2, ...) se observa que
los términos son casi iguales.
Prueba
con otro número de términos (11, 12,
..., 100, ...) y comprueba que se sigue verificando.
Si se
restan ambas sumas se pueden eliminar los términos
idénticos, como se ve en el paso_2 (1, 2, ...).
En el paso_3 (1,
2, 3)puedes ver la fórmula general. |
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| SUMA DE
TODOS LOS TÉRMINOS CUANDO |r| <1 |
| Cuando la razón de la progresión geométrica es
un número entre -1 y 1 se pueden sumar los infinitos términos, como se ve
en esta escena. |
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Actividad 4:
Observa la suma de los cinco primeros
términos.
Aumenta el número de sumandos y observa
que la suma que se obtiene se va acercando a un número.
Prueba con otras progresiones, cambiando
el primer término o la razón.
Busca la expresión que permite obtener la
suma de todos los términos basándote en la formula del
apartado anterior y teniendo en cuenta que el último
término puede considerarse nulo.
En el paso_1 puedes ver
la fórmula general. |
3. EJERCICIOS.
Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez
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| ©
Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006 |
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