Números complejos

El concepto de número imaginario y después complejo se conoce en las matemáticas y se utiliza desde tiempos remotos. La introducción de la resta, hizo que se complementaran los números naturales con los números negativos; la división condujo a la ampliación con el conjunto de los números racionales; a su vez la operación de radicación resultó la causa operativa de introducción del concepto de número real... El caso particular, cuando se trata de la extracción de raíz de índice par de un número negativo exigía la introducción de los números imaginarios.

La poca claridad del concepto de número complejo no podía esconder su utilidad en la resolución de problemas concretos. Una gran cantidad de los hechos acumulados dio motivo a los matemáticos del siglo XVIII para trasladar el concepto de lo imaginario también al campo de las magnitudes variables. Ya que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia del carácter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente a los investigadores con diferente "apariencias": física, geométrica, ...

Un número complejo en forma binómica es una expresión de la forma z=a+bi. A 'b' se le llama parte imaginaria y 'a' recibe el nombre de parte real. La letra i se llama unidad imaginaria y verifica que i²=-1.También puede definirse como el par ordenado (a,b).

La representación de un número complejo es el vector que une el origen de coordenadas con el punto (a,b), llamado afijo del número complejo.

1) Si b=0, el complejo a+bi se identifica con el número real a. Su afijo está sobre el eje real.

2) Si a=0, el número complejo a+bi tiene sólo parte imaginaria, recibe el nombre de imaginario puro. Su afijo está sobre el eje imaginario.

3)Si a=0 y b=0, el complejo a+bi es el complejo 0. Su afijo coincide con el origen de coordenadas.

El opuesto de un número complejo z=a+bi es el número complejo -z=-a-bi. El conjugado de z se define como

=a-bi

Utiliza las flechas, el teclado o el ratón sobre el extremo del vector que representa a z y observa la representación de z , -z y

Halla los opuestos y conjugados de los complejos del ejercicio 1 y comprueba y observa su representación modificando los parámetros a y b en la escena anterior. Utiliza el cuaderno.

Suma y diferencia de números complejos.

La suma de dos números complejos es otro número complejo que tiene como parte real la suma de las partes reales y como parte imaginaria la suma de las partes imaginarias. Gráficamente es la diagonal del paralelogramo que determinan los dos números complejos y que parte del origen.

Si observas la representación del número complejo z1-z2, te darás cuenta de que si lo representases partiendo de z2, obtendrías la otra diagonal del paralelogramo.

Para sumar o restar dos números complejos puedes escribir las componentes (z1.x, z1.y, z2.x, z2.y), utilizar las flechitas o ratón (moviendo los extremos de los números complejos z1 y z2). Representa los números complejos 3+i, 3-i, -3+2i, -3-2i, 6, -5i.

Producto y cociente.

Si tenemos dos números complejos a+bi y c+di, el producto y el cociente se definen de la siguiente forma

Considera los números complejos z₁=3+i y z₂=3-i y calcula el producto y el cociente. Haz lo mismo con z₁= -3+2i y z₂=3i.

Dado un número complejo a+bi, el vector que lo representa forma un ángulo ang con el semieje positivo del eje de abscisas que se llama argumento. Cualquier número complejo queda determinado por el argumento y por el módulo (distancia del origen al afijo) y se representa por r_ang.

El argumento es el arco-tangente de b/a (¡ten cuidado con los cuadrantes!). Además: a=r*cos(ang) y b=r*sen(ang). Compruébalo con los números complejos: 1_90º , 3, 2_pi/4, -1/2+3i, -8i, 1+i y-4.

Para multiplicar números complejos en forma polar basta con sumar los argumentos y multiplicar los módulos. Para dividir se restan los argumentos y se dividen los módulos. Compruébalo usando este apartado y el anterior .

Raíces de números complejos.

Una de las diferencias que más llaman la atención de los números complejos es que cualquier número complejo tiene dos raíces cuadradas (mientras que entre los números reales sólo lo verifican los positivos). Pero hay más, un número complejo tiene tres raíces cúbicas, que son los vértices de un triángulo equilátero), cuatro raíces cuartas (que son los vértices de un cuadrado), etc.

La fórmula que nos permite calcular las n raíces n-ésimas de un número complejo en forma polar r_ang es:

Observa que todas las raíces enésimas de un complejo tienen el mismo módulo "r" (su afijo está sobre una circunferencia de radio r) y, la diferencia entre dos argumentos consecutivos Ai y A(i+1), es siempre la misma.Observa que todas las raíces enésimas de un complejo tienen el mismo módulo "r" (su afijo está sobre una circunferencia de radio r) y, la diferencia entre dos argumentos consecutivos , es siempre la misma.

¿Qué figura geométrica se obtiene al unir los "n" afijos de las "n" raíces enésimas de un complejo?

Observa que previamente tienes que pasar a forma polar los complejos que están escritos en forma binómica. Comprueba los resultados en la escena.

¿Qué figura geométrica se obtiene al unir los "n" afijos de las "n" raíces enésimas de un complejo?


	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006

NÚMEROS COMPLEJOS

Suma y diferencia de números complejos.

Producto y cociente.

Raíces de números complejos.