DETERMINANTES

1. INTRODUCCIÓN.DEFINICIÓN

2. CÁLCULO DE DETERMINANTES.REGLA DE SARRUS.

3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

4. REGLA DE CRAMER.

1. INTRODUCCIÓN. DEFINICIÓN

La idea de determinante es una concreción de la idea de matriz, es decir, no tiene sentido si no es a través de una matriz cuadrada. Se trata de asignarle a cada matriz un valor de R que, de alguna forma, la representa.

Un determinante de una matriz cuadrada es un valor que se obtiene a partir de los elementos de la matriz.Su valor, determina si el sistema asociado tiene o no solución. Además dicho valor del determinante interviene en la solución del sistema.

Dada una matriz cuadrada de orden  n :             A =

Se llama Determinante de A y se representa por |A| ó también  det(A), al número que se obtiene de la siguiente forma:

son las distintas permutaciones de n elemento (es decir, n! elementos).Por tanto, el determinante de una matriz de orden  n  estará formado por la suma de  n!  sumandos, cada uno de ellos formado por n factores, entre los que figura un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna de la matriz.

2. CÁLCULO DE DETERMINANTES.REGLA DE SARRUS

  Determinantes de orden 1:

Si   es una matriz de orden 1,  

El valor del determinante coincide con el valor del único elemento de la matriz.

Determinantes de orden 2:

El primer término  lleva signo +  porque la permutación de los índices de las columnas (1, 2) es par.

El segundo término  lleva signo -  porque la permutación de los índices de las columnas (2, 1) es impar.

Determinantes de orden 3:

En el desarrollo aparecen 3!=6 sumandos. En cada uno de ellos intervienen 3 factores entre los que hay un solo elemento de cada fila y un solo elemento de cada columna. Cada sumando va precedido del signo + ó – según la paridad de la permutación formada por los índices de columnas. Así, el término  lleva signo menos ya que la permutación (2, 1, 3) es impar.

Para recordar fácilmente la expresión que permite calcular el valor de un determinante de orden 3 se utiliza la regla de Sarrus, que identifica gráficamente cómo elegir los factores. Observa la siguiente escena:

Actividad 1:

En la siguiente escena se calcula el determinante 3x3 de una matriz dada:

1. Da valores a los distintos elementos de la matriz y verás cómo cambia su determinante.
2. Comprueba en tu cuaderno de trabajo los resultados obtenidos en cada caso.
3. Escribe una matriz que tenga dos filas iguales. ¿Cuánto vale su determinante?
4. Escribe una matriz en la que la tercera fila sea la suma de las dos primeras. ¿Cuánto vale su determinante?

3. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Para calcular un determinante de orden superior a 3, el proceso anterior sería muy largo y engorroso.En general el determinante de orden "n" seria el resultado de sumar todos los posibles productos de "n" elementos , uno de cada fila y de cada columna, afectado del signo + ó - segun si el número de inversiones es par ó impar. Así pues, para simplificar dicho cálculo se va reduciendo el orden del determinante,aplicando las siguientes propiedades :

1.- El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su traspuesta, ya que al cambiar las filas por las columnas los productos quedan iguales y con igual signo.

2.- Al intercambiar dos líneas paralelas consecutivas (filas o columnas) de una matriz, el determinante cambia de signo, pero no varía su valor absoluto (ya que todos los elementos cambian de índice en la permutación).  

3.- Si se multiplican por la constante k todos los elementos de una línea (fila o columna) de la matriz, el determinante de esta matriz queda multiplicada por k.

4.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, entonces su determinante vale 0.

5.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas (filas o columnas) proporcionales, su determinante vale 0.

6.- Si todos los elementos de una fila (línea o columna) de una matriz cuadrada son cero, el determinante de dicha matriz es cero. (ya que en el desarrollo de un determinante, aparece un factor de cada fila y de cada columna, y por tanto, en cada término aparecerá un cero como factor).

7.- Si cada elemento de una línea de una matriz cuadrada se escribe como suma de dos sumandos, el determinante de dicha matriz es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las líneas, excepto la línea de la descomposición, en la que el primer determinante tiene el primer sumando de cada elemento del inicial y el segundo determinante tiene el segundo sumando.

8.- Si una línea de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más líneas paralelas a ella, entonces, el determinante de la matriz vale 0.

9.- El determinante de una matriz cuadrada no cambia si se le suma a una línea cualquiera una combinación lineal de otras líneas paralelas a ella.

10.- Todo determinante de una matriz cuadrada se puede convertir en otro del mismo valor que el dado, tal que todos los elementos de una línea, previamente elegida, sean cero excepto uno de ellos.

4. REGLA DE CRAMER

Dado un sistema con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas cuyo determinante sea distinto de cero , podemos obtener su solución utilizando la regla de CRAMER :

Actividad 2:

En esta escena se calculan las soluciones de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas utilizando la Regla de Cramer.

Actividad 2:

1. ¿Qué condición hay que imponer para poder aplicar la Regla de Cramer?
2. Multiplica por 2 todos los elementos de una matriz. ¿Cómo afecta a la solución del sistema? ¿Y si multiplicas por 3? ¿Y en general?
3. Multiplica por 2 todos los elementos de un vector b. ¿Cómo afecta a la solución del sistema? ¿Y si multiplicas por 3? ¿Y en general?
4. Multiplica por 2 todos los elementos de una matriz y de un vector b. ¿Cómo afecta a la solución del sistema? ¿Y si multiplicas por 3? ¿Y en general?

Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006