Operando com n�meros inteiros II

Determinar os n�meros naturais que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38 deixam resto 26.

Solu��o:

Sendo D o dividendo, d o divisor e q o quociente, j� sabemos que D = dq + r com 0 � r < d.
Nestas condi��es, poderemos escrever, sendo D o n�mero procurado:

D = 40q₁ + 18
D = 38q₂ + 26
onde q₁ e q₂ s�o os quocientes e, portanto, n�meros inteiros.

Podemos inferir das duas igualdades acima, que 40q₁ + 18 = 38q₂ + 26 . Da�, vem:
40q₁ = 38q₂ + 26 � 18 = 38q₂ + 8
Ent�o, poderemos escrever:
q₁ = (38q₂ + 8) / 40

Como q₁ � um n�mero inteiro, o numerador 38q₂ + 8 � um m�ltiplo de 40, ou seja:
38q₂ + 8 = 40n , onde n � um n�mero inteiro.

Da� tiramos que q₂ = (40n � 8) / 38 = (38n + 2n � 8) / 38 = n + 2[(n � 4) / 38]
Nota: observe que substituir 40n por 38n + 2n � apenas um artif�cio para ajudar na simplifica��o, pois isto fez aparecer 38n / 38 que � igual a n. Portanto,

q₂ = n + 2[(n � 4) / 38] = n + (n � 4) / 19, onde q₂ e n s�o n�meros inteiros.

Como a soma de dois n�meros inteiros � um outro n�mero inteiro, sendo n inteiro, a fra��o
(n � 4) / 19 dever� ser tamb�m um n�mero inteiro e, portanto, n � 4 ser� m�ltiplo de 19, o que nos permite escrever n � 4 = 19k onde k � tamb�m inteiro.

Logo, n = 19k + 4

Substituindo o valor de q₂ acima, na express�o de q₁ visto anteriormente e efetuando os c�lculos, fica:


Portanto, q₁ = n e como vimos acima que n = 19k + 4, vem imediatamente que
q₁ = 19k + 4.

Ora, o n�mero natural procurado � dado por D = 40q₁ + 18, conforme vimos no in�cio desse texto. Logo, substituindo, vem finalmente:

D = 40(19k + 4) + 18 = 760k + 160 + 18 = 760k + 178 onde k � um n�mero inteiro positivo ou nulo, ou seja, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Resposta: os n�meros naturais que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38 deixam resto 26 s�o da forma j = 760k + 178 com k = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Nota: substituindo os valores de k na solu��o geral, obteremos:
k = 0 � j = 178
k = 1 � j = 938
k = 2 � j = 1698
k = 3 � j = 2458
k = 4 � j = 3218
e assim sucessivamente. Observem que a seq��ncia 178, 938. 1698, 2458, 3218, ... � uma Progress�o Aritm�tica � PA de raz�o 760.

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Paulo Marques, Feira de Santana – BA –  09/04/2004

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