Nota: os enunciados dos dois problemas a seguir, foram enviados por um visitante do site. Como nem sempre tenho tempo de responder a todos os e-mails que recebo, normalmente publico as solu��es solicitadas na forma de arquivo. Tenho procedido assim j� h� muito tempo pois, entendo que universalizando as solu��es no site, estarei ajudando a um n�mero maior de pessoas. Este � o 310� arquivo publicado no site, que este ano estar� completando 10 anos! Sim, os primeiros arquivos foram publicados em 1995, embora em outro provedor! Lembrem-se que em 1995 a INTERNET estava apenas come�ando no BRASIL.
1 Determine o menor n�mero inteiro positivo que dividido por 39 d� resto 16 e dividido por 37, d� resto 36.
Solu��o:
Sendo D o dividendo , d o divisor, q
o quociente e r o resto, sabemos que D = d.q + r , onde
D, d , q e r s�o n�meros naturais com 0 �
r < d . Esta rela��o � conhecida como Teorema de Euclides (fil�sofo e matem�tico grego
do s�culo III A.C.).
Podemos ent�o escrever, sendo D o n�mero inteiro positivo procurado:
D = 39q + 16
D = 37q' + 36, onde D � o dividendo procurado e q e q' s�o os
respectivos quocientes.
Observe que as express�es acima s�o da forma y = ax + b cuja representa��o gr�fica dos pontos (x,y) no plano cartesiano � uma reta para a, b, x e y reais. Como as igualdades acima est�o definidas em N � conjunto dos naturais, evidentemente que as representa��es gr�ficas n�o ser�o retas (cont�nuas), por�m os pontos determinados pelos pares ordenados (q, D) ou (q',D) ser�o pontos colineares ou seja, alinhados.
Posto isto, podemos considerar q e q' como sendo a vari�vel independente x (por analogia com a equa��o da reta y = ax + b) e, D como a vari�vel dependente y e escrever o seguinte sistema de equa��es:
y = 39x + 16
y = 37x + 36
lembrando que estamos considerando aqui apenas os valores inteiros positivos
das vari�veis x e y.
Agora, basta resolver o sistema acima e achar o valor de
y = D.
Subtraindo membro a membro as igualdades acima, fica:
y � y = (39x + 16) � (37x + 36)
0 = 39x + 16 � 37x � 36
0 = 2x � 20, de onde tiramos x = 10.
Substituindo em qualquer uma das equa��es, teremos finalmente:
y = 39x + 16 = 39.10 + 16 = 390 + 16 = 406.
Ora, j� sabemos que y = D e, portanto, o n�mero procurado � igual a 406.
Verifique que de fato, 406 dividido por 39 d� 10 e resto 16 e que tamb�m 406 dividido por 37 d� 10 e resto 36.
Nota: uma vez entendida a metodologia acima, poderemos
resolver o mesmo problema usando a seguinte forma pr�tica:
Como D = 39q + 16 e D = 37q' + 36
Podemos escrever D = 39q + 16 = 37q' + 36
Fazendo q = q' e substituindo: 39q + 16 = 37q + 36 de
onde vem q = 10.
Nota: fazendo q = q' , obteremos apenas uma
solu��o do problema, ou seja, a menor solu��o inteira positiva pedida no
enunciado.
Substituindo, vem finalmente D = 39.10 + 16 = 406
, que � o menor n�mero inteiro positivo que satisfaz ao problema
proposto.
Generalizando ...
Se a pergunta fosse:
quais
os n�meros naturais que divididos por 39
deixam
resto 16 e divididos por 37, deixam resto 36 , o
problema teria infinitas solu��es. Veja a seguir, a solu��o
apresentada para este caso generalizado, pelo ilustre visitante do site,
H�lio M. Fragoso, publicada com a devida permiss�o:
Seja N o n�mero procurado. Chamemos de q1 e q2
os quocientes da divis�o de N por 39 e 37, respectivamente.
Segundo o enunciado do problema, teremos:
Sendo q1 um
n�mero inteiro, o numerador da fra��o acima deve ser m�ltiplo do
denominador. Logo,
onde n � um n�mero inteiro.
Como q2 � um
n�mero inteiro, a express�o entre par�ntesis deve tamb�m ser um n�mero
inteiro, que chamaremos de k.
Substituindo
(B) em (A) resulta:
Substituindo q1 da
express�o (D) na igualdade inicial
Fazendo k = 0, k = 1, k = 2 etc.
obtemos os valores de N que satisfazem �s condi��es do problema.
2 Resolver a equa��o 8x + 12y = 23, de modo que x e y sejam positivos e sua soma, um n�mero inteiro.
Solu��o:
Tirando o valor de y fica: y = (23 � 8x) / 12
O problema pede que x + y seja um n�mero inteiro com a condi��o de que x e y sejam positivos. Teremos ent�o, substituindo o valor de y:
x + (23 � 8x) / 12 = (12x) / 12 + (23 � 8x) / 12 = (4x + 23) / 12
O problema imp�e a condi��o que a soma acima seja um
n�mero inteiro. Portanto, o numerador 4x + 23 deve ser um m�ltiplo de
12 ou seja: 4x + 23 = 12k onde k � um inteiro. Da� tiramos
x = (12k � 23) / 4 . Lembrando que x deve ser positivo, conforme dito no
enunciado da quest�o, deveremos tamb�m ter x = (12k � 23) / 4 > 0 , o
que resulta 12k � 23 > 0 ou 12k > 23 ou k > 23/12 ou seja k >
1,916... .
Como k � inteiro, os valores poss�veis para k ser�o k = 2, 3, 4,
5, 6, ...
Como y = (23 � 8x) / 12 , vem substituindo o valor de x obtido acima:
y = [23 � 8(12k � 23)/4] / 12 = [(23 � 24k + 46)] / 12 = (69 � 24k) / 12
Lembrando que o problema imp�e que y deve ser positivo, deveremos ter:
y = (69 � 24k) / 12 > 0, o que resulta 69 � 24k
> 0 ou 69 > 24k ou 24k < 69, o que resulta
k < 2,875. Como k � inteiro, deveremos ter k = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... .
Portanto para que x seja positivo vimos acima que k = 2,
3, 4, 5, ... e para que y seja positivo vimos tamb�m que
k = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... . Para que ambos sejam positivos, deveremos ter
evidentemente k = 2, que � o �nico valor de k que atende
simultaneamente �s duas condi��es.
Portanto, como k = 2, os n�meros procurados ser�o obtidos substituindo o valor de k nas express�es obtidas acima:
x = (12k � 23) / 4 = (12.2 � 23) / 4 = (24 � 23) / 4 = 1/4
y = (69 � 24k) / 12 = (69 � 24.2) / 12 = (69 � 48) / 12 = 21/12
Resposta: x = 1/4 e y = 21/12.
Nota: observe que x e y
satisfazem ao enunciado pois s�o ambos positivos e a soma resulta num n�mero
inteiro, ou seja: (1/4) + (21/12) = (3/12) + (21/12) = 24/12 = 2. Al�m disso,
substituindo x e y na equa��o original resulta
8(1/4) + 12(21/12) = 2 + 21 = 23.
Agora resolva estes:
1) Determinar o menor n�mero
inteiro positivo que dividido por 40 d�
resto 18 e dividido por 38, d� resto 26.
Resposta: 178
2) Determinar os n�meros
naturais que divididos por 40 deixam
resto 18 e divididos por 38, deixam resto 26.
Resposta: n�meros da forma 760k + 178, onde k
= 0, 1, 2, 3, 4, ... .
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3) Resolver a equa��o 6x + 10y = 21, de modo que x e y
sejam positivos e sua soma um n�mero inteiro.
Resposta: x = 9/4 e y = 3/4.